Волновое уравнение и скорости распространения упругих волн в горных породах
|
Волновое движение в твердом теле возникает при смещении частиц среды относительно своего положения равновесия, и передачи движения соседним частицам, т. е. в среде происходит распространение упругих напряжений в пространстве. Положение каждой частицы среды в равновесном состояния определяется ее координатами х, у, z или радиусом-вектором r, а смещение частицы — вектором u или координатами смещения u, v, w. Для описания процесса распространения упругих волн используют уравнения динамического равновесия упругой однородной изотропной безграничной среды. При этом исходят из предположения, что среда — сплошная, смещения и деформации — малы, связь между механическими свойствами среды описывается в виде линейного закона Гука. При выводе уравнения движения применяют второй закон Ньютона к равнодействующим напряжениям (при отсутствии объемных сил) в направлении каждой координатной оси. Дифференциальные уравнения волнового движения, частиц в идеально упругой среде (при отсутствии потерь упругой энергии при распространении волн) имеют вид  где λ и μ — константы Ламе, полностью определяющие упругие свойства изотропной среды; Δ — объемное расширение, представляющее собой сумму относительных деформаций частиц (εxx + εyy + εzz), связанных со смещениями по различным направлениям; Эти уравнения теряют смысл на границах, где свойства среды изменяются скачкообразно. В векторной форме уравнения движения (уравнение Навье — Стокса) можно представить в виде  Если представить вектор u в виде суммы двух векторов up и u8 один из которых соответствует безвихревому движению (rot uр = 0), а другой — «чисто» сдвиговой деформации (div u8 = 0), когда объемное расширение равно нулю, то уравнение распадается на два независимых волновых уравнения:  Уравнения (II.3) и (II.4) описывают распространение в однородной изотропной бесконечно протяженной твердой среде двух типов волн: продольных и сдвиговых. В продольных волнах частицы движутся параллельно направлению распространения волны, а деформация представляет собой комбинацию всестороннего сжатия (растяжения) и чистого сдвига. В сдвиговых волнах движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны, в связи с чем еe называют также поперечной волной, а деформация является чистым сдвигом. Скорости распространения волн:  Выражая константы Ламе в формулах (II.5) и (II.6) через модули упругости (модуль Юнга Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v), скорости распространения волн могут быть записаны в следующем виде:  В твердых телах скорость распространения продольной волны зависит также от размеров тела. Для стержня, поперечный размер которого намного меньше, а продольный размер больше длины волны, скорость распространения продольной упругой волны будет определяться по формуле  В пластинах, толщина которых меньше длины волны, скорость распространения продольной упругой волны определяется из выражения  Возможность бокового расширения под воздействием продольного сжатия в телах ограниченных размеров приводит к тому, что вместо модуля всестороннего сжатия деформация определяется модулем Юнга, который всегда меньше. Это ведет к уменьшению скорости распространения продольной волны относительно ее значения для безграничной среды. Случаи распространения продольных волн в безграничной среде (массиве) и в гонком стержне являются крайними. Отношение скоростей в них равно приблизительно 1,1. Зависимость скорости распространения волны от отношения размера тела к длине волны (частоты) называется геометрической дисперсией скорости. У поперечной волны геометрическая дисперсия скорости отсутствует. Этот факт нашел практическое использование при проведении исследований на образцах. Измеряя скорости продольной и поперечной упругих волн в образце горной породы в виде стержня разного диаметра при заданной частоте других колебаний, можно наиболее просто определять все упругие параметры среды. Жидкости отличаются от твердых тел тем, что обладают лишь упругостью объема и при деформировании в них не возникает сдвиговых упругих напряжений. В связи с этим в жидкостях могут распространяться только продольные волны разрежения — сжатия, и колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. |
