Поверхность Дарбу
|
Поверхность Дарбу — двумерная поверхность F2 в трёхмерном евклидовом пространстве E3, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу. Тензор Дарбу — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на поверхности F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в E3. Компоненты тензора Дарбу Θ Theta вычисляются по формулам: Θ i j m = ∇ m b i j − b i j ∇ m K + b m i ∇ j K + b j m ∇ i K 4 K , i , j , m = 1 , 2 , {displaystyle Theta _{ijm}= abla _{m}b_{ij}-{frac {b_{ij} abla _{m}K+b_{mi} abla _{j}K+b_{jm} abla _{i}K}{4K}},quad i,j,m=1,2,}где b i j {displaystyle b_{ij}} — коэффициенты второй квадратичной формы, K — гауссова кривизна, а ∇ m b i j {displaystyle abla _{m}b_{ij}} и ∇ m K {displaystyle abla _{m}K} — их ковариантные производные. К этому тензору в специальных координатах впервые пришёл Г. Дарбу. Обращение в ноль тензора Дарбу характеризует поверхности Дарбу в E3 — двумерные поверхности второго порядка, не развертывающиеся на плоскость. Другое важное свойство поверхностей Дарбу связано с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Так, поверхности Дарбу положительной гауссовой кривизны K>0 в E3 характеризуются тем свойством, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них и только на них сводится к системе уравнений Коши — Римана. Естественным обобщением поверхностей Дарбу являются n-мерные подмногообразия с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в (n+p)-мерных пространствах постоянной кривизны. Всякая циклически рекуррентная поверхность F2 с ненулевой гауссовой кривизной K в трехмерном евклидовом пространстве E3 локально есть поверхность Дарбу.
|
