Измерительный мост
Измерительный мост (мост Уитстона, мостик Витстона, англ. Wheatstone bridge) — электрическая схема или устройство для измерения электрического сопротивления. Предложен в 1833 году Самуэлем Хантером Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) и в 1843 году усовершенствован Чарльзом Уитстоном. Мост Уитстона относится к одинарным мостам в отличие от двойных мостов Томсона. Мост Уитстона — электрическое устройство, механическим аналогом которого являются аптекарские рычажные весы. Измерение сопротивлений с помощью моста УитстонаПринцип измерения сопротивления основан на уравнивании потенциала средних выводов двух ветвей (см. рисунок). Другая ветвь содержит элемент, сопротивление которого может регулироваться ( R 2 {displaystyle R_{2}} ; например, реостат). Между ветвями (точками B и D; см. рисунок) находится индикатор. В качестве индикатора могут применяться:
Обычно в качестве индикатора используется гальванометр. Когда гальванометр показывает ноль, говорят, что наступило «равновесие моста» или «мост сбалансирован». При этом:
откуда R x = R 2 R 3 R 1 ; {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}};}
Сопротивления R 1 {displaystyle R_{1}} , R 3 {displaystyle R_{3}} должны быть известны заранее. Вывод формулы см. ниже. ТочностьПри плавном изменении сопротивления R 2 {displaystyle R_{2}} гальванометр способен зафиксировать момент наступления равновесия с большой точностью. Если величины R 1 {displaystyle R_{1}} , R 2 {displaystyle R_{2}} и R 3 {displaystyle R_{3}} были измерены с малой погрешностью, величина R x {displaystyle R_{x}} будет вычислена с большой точностью. В процессе измерения сопротивление R x {displaystyle R_{x}} не должно изменяться, так как даже небольшие его изменения приведут к нарушению баланса моста. НедостаткиК недостаткам предложенного способа можно отнести:
Условие баланса мостаВыведем формулу для расчёта сопротивления R x {displaystyle R_{x}} . Первый способСчитается, что сопротивление гальванометра R G {displaystyle R_{G}} мало настолько, что им можно пренебречь ( R G = 0 {displaystyle R_{G}=0} ). То есть, можно вообразить, что точки B и D соединены (см. рисунок). Воспользуемся правилами (законами) Кирхгофа. Выберем:
По первому правилу Кирхгофа сумма токов, входящих в точку (узел) равна нулю:
По второму правилу Кирхгофа сумма напряжений в ветвях замкнутого контура равна сумме ЭДС в ветвях этого контура:
Запишем 4‑е последних уравнения для «сбалансированного моста» (то есть учтём, что I G = 0 {displaystyle I_{G}=0} ): { I 3 = I x I 1 = I 2 R 3 ⋅ I 3 = R 1 ⋅ I 1 R x ⋅ I x = R 2 ⋅ I 2 {displaystyle {egin{cases}I_{3}=I_{x}I_{1}=I_{2}R_{3}cdot I_{3}=R_{1}cdot I_{1}R_{x}cdot I_{x}=R_{2}cdot I_{2}end{cases}}}Поделив 4‑е уравнение на 3‑е, получим: R x ⋅ I x R 3 ⋅ I 3 = R 2 ⋅ I 2 R 1 ⋅ I 1 . {displaystyle {frac {R_{x}cdot I_{x}}{R_{3}cdot I_{3}}}={frac {R_{2}cdot I_{2}}{R_{1}cdot I_{1}}}.}Выразив R x {displaystyle R_{x}} , получим: R x = R 2 ⋅ I 2 ⋅ R 3 ⋅ I 3 I 1 ⋅ R 1 ⋅ I x . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot I_{2}cdot R_{3}cdot I_{3}}{I_{1}cdot R_{1}cdot I_{x}}}.}С учётом того, что { I 3 = I x I 1 = I 2 {displaystyle {egin{cases}I_{3}=I_{x}I_{1}=I_{2}end{cases}}}получим R x = R 2 ⋅ R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot R_{3}}{R_{1}}}.} Второй способСчитается, что сопротивление гальванометра R G {displaystyle R_{G}} велико настолько, что точки B и D можно считать не соединёнными (см. рисунок) ( R G = ∞ {displaystyle R_{G}=infty } ). Введём обозначения:
По закону Ома токи I A D C {displaystyle I_{ADC}} , I A B C {displaystyle I_{ABC}} равны: I A D C = U A C R A D C = U A C R 1 + R 2 ; {displaystyle I_{ADC}={frac {U_{AC}}{R_{ADC}}}={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}};} I A B C = U A C R A B C = U A C R 3 + R x . {displaystyle I_{ABC}={frac {U_{AC}}{R_{ABC}}}={frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}.}По закону Ома падения напряжения на участках DC и BC равны: U D C = I A D C ⋅ R 2 ; {displaystyle U_{DC}=I_{ADC}cdot R_{2};} U B C = I A B C ⋅ R x . {displaystyle U_{BC}=I_{ABC}cdot R_{x}.}Потенциалы в точках D и B равны: φ D = φ C + U D C = φ C + I A D C ⋅ R 2 ; {displaystyle varphi _{D}=varphi _{C}+U_{DC}=varphi _{C}+I_{ADC}cdot R_{2};} φ B = φ C + U B C = φ C + I A B C ⋅ R x . {displaystyle varphi _{B}=varphi _{C}+U_{BC}=varphi _{C}+I_{ABC}cdot R_{x}.}Напряжение между точками D и B равно: U D B = φ D − φ B = ( φ C + I A D C ⋅ R 2 ) − ( φ C + I A B C ⋅ R x ) = I A D C ⋅ R 2 − I A B C ⋅ R x . {displaystyle U_{DB}=varphi _{D}-varphi _{B}=left(varphi _{C}+I_{ADC}cdot R_{2} ight) -left(varphi _{C}+I_{ABC}cdot R_{x} ight) =I_{ADC}cdot R_{2}-I_{ABC}cdot R_{x}.}Подставив выражения для токов I A D C {displaystyle I_{ADC}} и I A B C {displaystyle I_{ABC}} , получим: U D B = U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 − U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle U_{DB}={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}-{frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}Учитывая, что для «сбалансированного моста» U D B = 0 {displaystyle U_{DB}=0} , получим: 0 = U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 − U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle 0={frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}-{frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}Поместив слагаемые по разные стороны от знака равенства, получим: U A C R 1 + R 2 ⋅ R 2 = U A C R 3 + R x ⋅ R x . {displaystyle {frac {U_{AC}}{R_{1}+R_{2}}}cdot R_{2}={frac {U_{AC}}{R_{3}+R_{x}}}cdot R_{x}.}Сократив U A C {displaystyle U_{AC}} , получим: R 2 R 1 + R 2 = R x R 3 + R x . {displaystyle {frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}.}Умножив на произведение знаменателей, получим: R 2 ⋅ ( R 3 + R x ) = R x ⋅ ( R 1 + R 2 ) . {displaystyle R_{2}cdot (R_{3}+R_{x})=R_{x}cdot (R_{1}+R_{2}).}Раскрыв скобки, получим: R 2 ⋅ R 3 + R 2 ⋅ R x = R x ⋅ R 1 + R x ⋅ R 2 . {displaystyle R_{2}cdot R_{3}+R_{2}cdot R_{x}=R_{x}cdot R_{1}+R_{x}cdot R_{2}.}После вычитания R x ⋅ R 2 {displaystyle R_{x}cdot R_{2}} получим: R 2 ⋅ R 3 = R 1 ⋅ R x . {displaystyle R_{2}cdot R_{3}=R_{1}cdot R_{x}.}Выразив R x {displaystyle R_{x}} , получим: R x = R 2 ⋅ R 3 R 1 . {displaystyle R_{x}={frac {R_{2}cdot R_{3}}{R_{1}}}.}В данном случае мостовая схема рассматривалась, как комбинация двух делителей, а влияние гальванометра считалось пренебрежимо малым. Общее сопротивление без выполнения условия балансаВ случае, если условие баланса не выполнено, расчёт общего сопротивления довольно громоздкий. Пользуясь правилами Кирхгофа, получаем систему уравнений: { I Σ = I 1 + I 4 = I 2 + I 3 I 5 = I 1 − I 2 = I 4 − I 3 R Σ ⋅ I Σ = R 1 ⋅ I 1 + R 2 ⋅ I 2 = R 3 ⋅ I 3 + R 4 ⋅ I 4 R 5 ⋅ I 5 = R 4 ⋅ I 4 − R 1 ⋅ I 1 = R 2 ⋅ I 2 − R 3 ⋅ I 3 {displaystyle {egin{cases}I_{Sigma }=I_{1}+I_{4}=I_{2}+I_{3}I_{5}=I_{1}-I_{2}=I_{4}-I_{3}R_{Sigma }cdot I_{Sigma }=R_{1}cdot I_{1}+R_{2}cdot I_{2}=R_{3}cdot I_{3}+R_{4}cdot I_{4}R_{5}cdot I_{5}=R_{4}cdot I_{4}-R_{1}cdot I_{1}=R_{2}cdot I_{2}-R_{3}cdot I_{3}end{cases}}} Тогда после исключения из системы всех токов получим окончательный результат, представленный в наиболее кратком виде: R Σ = ∑ 1 = i < j < k 5 R i R j R k − R 5 ( R 1 R 4 + R 2 R 3 ) ∑ 1 = i < j 5 R i R j − ( R 1 R 2 + R 3 R 4 ) , {displaystyle R_{Sigma }={frac {sum _{1=i<j<k}^{5}R_{i}R_{j}R_{k}-R_{5}left(R_{1}R_{4}+R_{2}R_{3} ight)}{sum _{1=i<j}^{5}R_{i}R_{j}-left(R_{1}R_{2}+R_{3}R_{4} ight)}},} где в суммах в числителе и в знаменателе суммируются все возможные комбинации из произведений сопротивлений без повторений сомножителей (всего таких комбинаций по десять). Схемы подключенияНа практике для измерения сопротивления с помощью мостовых схем применяют двухпроводное и четырёхпроводное подключение. Двухпроводная схема подключения применяется при измерениях сопротивлений величиной выше 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по одному проводу. Четырёхпроводная схема подключения применяется при измерении сопротивления величиной до 10 Ом. К точкам B и C (см. рисунок) подключаются по два провода. Это позволяет исключить влияние сопротивления проводов на величину измеренного сопротивления R x {displaystyle R_{x}} . История созданияВ 1833 году Самуэль Хантер Кристи (англ. Samuel Hunter Christie) предложил схему, позже получившую название «мост Уитстона». В 1843 году схема была усовершенствована Чарльзом Уитстоном (англ. Charles Wheatstone) и стала называться «мостом Уитстона». В 1861 году лорд Кельвин использовал мост Уитстона для измерения малых сопротивлений. В 1865 году Максвелл с помощью изменённого моста Уитстона измерял силу переменного тока. В 1926 году Алан Блюмлейн усовершенствовал мост Уитстона и запатентовал. Новое устройство стали называть в честь изобретателя. КлассификацияВ промышленности широко применяются уравновешенные и неуравновешенные измерительные мосты. Работа уравновешенных мостов (наиболее точных) основана на «нулевом методе». С помощью неуравновешенных мостов (менее точных) измеряемую величину определяют по показаниям измерительного прибора. Измерительные мосты подразделяются на неавтоматические и автоматические. В неавтоматических мостах балансирование производится вручную (оператором). В автоматических балансировка моста происходит с помощью сервопривода по величине и знаку напряжения между точками D и B (см. рисунок). Применение для измерения неэлектрических величинМост Уитстона часто используется для измерения самых разнообразных неэлектрических параметров, например:
Принцип действия всех этих приборов основан на измерении сопротивления чувствительного резистивного элемента-датчика, сопротивление которого изменяется при изменении воздействующей на него неэлектрической величины. Резистивный датчик (датчики) включается электрически в одно или несколько плеч моста Уитстона и измерение неэлектрической величины сводится к измерению изменения сопротивления датчиков. Применение моста Уитстона в этих приложениях обусловлено тем, что позволяет измерять относительно малое изменение сопротивления, то есть в случаях когда Δ R x / R x ≪ 1. {displaystyle Delta R_{x}/R_{x}ll 1.} Обычно в современных измерительных приборах мост Уитстона подключается через аналого-цифровой преобразователь к цифровому вычислительному устройству, например, к микроконтроллеру, обрабатывающему сигнал моста. При обработке, как правило, производится линеаризация, масштабирование с преобразованием в численное значение неэлектрической величины в единицы её измерения, коррекция систематических погрешностей датчиков и измерительной схемы, индикация в удобном и наглядном для пользователя цифровом и/или машинно-графическом виде. Также может производиться статистическая обработка измерений, гармонический анализ и другие виды обработки. Принцип работы тензометрических измерителейТензодатчики тензорезисторы применяются в:
При этом тензорезисторы, наклеенные на упругие деформируемые детали включаются в плечи моста, а полезным сигналом является напряжение диагонали моста между точками D и B (см. рисунок). Если выполняется соотношение: R 1 / R 2 = R 3 / R x , {displaystyle R_{1}/R_{2}=R_{3}/R_{x},}то независимо от напряжения на диагонали моста между точками A и C (напряжения) между точками D и B ( U D B {displaystyle U_{DB}} )) будет равно нулю: U D B = 0. {displaystyle U_{DB}=0.}Но если R 1 / R 2 ≠ R 3 / R x , {displaystyle R_{1}/R_{2} eq R_{3}/R_{x},} то на диагонали появится ненулевое напряжение («разбаланс» моста), однозначно связанное с изменением сопротивления тензорезистора, и, соответственно, с величиной деформации упругого элемента, при измерении разбаланса моста измеряют деформацию, а так как деформация связана, например, в случае весов, с весом взвешиваемого тела, то и в результате измеряют его вес. Для измерения знакопеременных деформаций помимо тензодатчиков часто используют пьезоэлектрические датчики. Последние в этих приложениях вытеснили тензодатчики благодаря лучшим техническим и эксплуатационным характеристикам. Недостатком пьезодатчиков является непригодность их для измерения медленных или статических деформаций. Измерения других неэлектрических величинОписанный принцип измерения деформации с помощью тензорезисторов в тензометрии сохраняется для измерения иных неэлектрических величин с применением других резистивных датчиков, сопротивление которых изменяется под воздействием неэлектрической величины. Измерение температурыВ этих приложениях применяются резистивные датчики, находящиеся в тепловом равновесии с изучаемым телом, сопротивление датчиков изменяется при изменении их температуры. Также применяются датчики не контактирующие непосредственно с изучаемым телом, а измеряющие интенсивность теплового излучения от объекта, например, болометрические пирометры. В качестве термочувствительных датчиков обычно используются резисторы, изготовленные из металлов — термометры сопротивления, имеющие положительный температурный коэффициент сопротивления, или полупроводниковые — терморезисторы с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления. Косвенно через измерение температуры также производится измерение теплопроводности, теплоёмкости, скорости потоков газов и жидкостей в термоанемометрах и измерение иных неэлектрических величин, связанных с температурой, например, концентрации компонента в газовой смеси с помощью термокаталитических датчиков и датчиков теплопроводности в газовой хроматографии. Измерение потоков излученияВ фотометрах применяются датчики, изменяющие своё сопротивление в зависимости от освещённости — фоторезисторы. Также существуют резистивные датчики для измерения потоков ионизирующих излучений. МодификацииИспользуя мост Уитстона, можно с большой точностью измерять сопротивление. Различные модификации моста Уитстона позволяют измерять другие физические величины:
Прибор explosimeter (англ.) позволяет определить, превышена ли допустимая концентрация горючих газов в воздухе. Мост Кельвина (англ. Kelvin bridge), также известный как мост Томсона (англ. Thomson bridge), позволяет измерять малые сопротивления, изобретён Томсоном. Прибор Максвелла позволяет измерять силу переменного тока, изобретён Максвеллом в 1865 году, усовершенствован Блюмлейном около 1926 года. Мост Максвелла (англ. Maxwell bridge) позволяет измерять индуктивность. Мост Фостера (англ. Carey Foster bridge) позволяет измерять малые сопротивления, описан Фостером (англ. Carey Foster) в документе, опубликованном в 1872 году. Делитель напряжения Кельвина-Варли (англ. Kelvin–Varley divider) построен на основе моста Уитстона. Промышленные образцыВ СССР и России Краснодарским заводом измерительных приборов выпускались следующие марки измерительных мостов с ручной наводкой на равновесие:
|
