Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция F ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle F(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} называется алгебраической в точке A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {displaystyle A=(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})} , если существует окрестность точки A {displaystyle A} , в которой верно тождество

где P {displaystyle P} есть многочлен от n + 1 {displaystyle n+1} переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного F ( x ) = 1 − x 2 {displaystyle F(x)={sqrt {1-x^{2}}}} является алгебраической на интервале ( − 1 , 1 ) {displaystyle (-1,1)} в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

Существует аналитическое продолжение функции F ( x ) = 1 − x 2 {displaystyle F(x)={sqrt {1-x^{2}}}} на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1]} или с двумя вырезанными лучами ( − ∞ , − 1 ] {displaystyle (-infty ,-1]} и [ 1 , ∞ ) {displaystyle [1,infty )} . В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Частные случаи

Частными случаями алгебраических функций являются:

• степенная функция;
• рациональная функция;

Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными.

Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, 2 {displaystyle {sqrt {2}}} — алгебраическое иррациональное число, а π {displaystyle pi } — трансцендентное иррациональное число.