Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое m {displaystyle m} -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в 2 m {displaystyle 2m} -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если m {displaystyle m} — степень двойки, то m {displaystyle m} -мерное проективное пространство невозможно вложить в ( 2 m − 1 ) {displaystyle (2m-1)} -мерное евклидово пространство.

Схема доказательства

Случаи m = 1 {displaystyle m=1} и m = 2 {displaystyle m=2} устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая m ⩾ 3 {displaystyle mgeqslant 3} используется факт, что гладкое отображение общего положения f : M → R 2 m {displaystyle fcolon M o mathbb {R} ^{2m}} является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечени можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки p , q ∈ R 2 m {displaystyle p,qin mathbb {R} ^{2m}} самопересечения отображения f {displaystyle f} , имеющие разные знаки. Возьмем точки x p , y p , x q , y q ∈ M {displaystyle x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}in M} , для которых f ( x p ) = f ( y p ) = p {displaystyle f(x_{p})=f(y_{p})=p} и f ( x q ) = f ( y q ) = q {displaystyle f(x_{q})=f(y_{q})=q} . Соединим x p {displaystyle x_{p}} и x q {displaystyle x_{q}} гладкой кривой x ⊂ M {displaystyle xsubset M} . Соединим y p {displaystyle y_{p}} и y q {displaystyle y_{q}} гладкой кривой y ⊂ M {displaystyle ysubset M} . Тогда f ( x ∪ y ) {displaystyle f(xcup y)} есть замкнутая кривая в R 2 m {displaystyle mathbb {R} ^{2m}} . Далее построим отображение h : D 2 → R 2 m {displaystyle hcolon D^{2} o mathbb {R} ^{2m}} с границей h ( ∂ D 2 ) = f ( x ∪ y ) {displaystyle h(partial D^{2})=f(xcup y)} . В общем положении, h {displaystyle h} является вложением и h ( D 2 ) ∩ f ( M ) = h ( ∂ D 2 ) {displaystyle h(D^{2})cap f(M)=h(partial D^{2})} (как раз здесь используется то, что m ⩾ 3 {displaystyle mgeqslant 3} ). Тогда можно изотопировать f {displaystyle f} в маленькой окрестности диска h ( D 2 ) {displaystyle h(D^{2})} так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для m = 1 {displaystyle m=1} (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова .

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения f : M → R 2 m {displaystyle fcolon M o mathbb {R} ^{2m}} . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку p ∈ R 2 m {displaystyle pin mathbb {R} ^{2m}} самопересечения отображения f {displaystyle f} . Возьмем точки x , y ∈ M {displaystyle x,yin M} , для которых f ( x ) = f ( y ) = p {displaystyle f(x)=f(y)=p} . Соединим x {displaystyle x} и y {displaystyle y} гладкой кривой l ⊂ M {displaystyle lsubset M} . Тогда f ( l ) {displaystyle f(l)} есть замкнутая кривая в R 2 m {displaystyle mathbb {R} ^{2m}} . Далее построим отображение h : D 2 → R 2 m {displaystyle hcolon D^{2} o mathbb {R} ^{2m}} с границей h ( ∂ D 2 ) = f ( l ) {displaystyle h(partial D^{2})=f(l)} . В общем положении, h {displaystyle h} является вложением и h ( D 2 ) ∩ f ( M ) = h ( ∂ D 2 ) {displaystyle h(D^{2})cap f(M)=h(partial D^{2})} (как раз здесь используется то, что m ⩾ 3 {displaystyle mgeqslant 3} ). Теперь можно изотопировать f {displaystyle f} в маленькой окрестности диска h ( D 2 ) {displaystyle h(D^{2})} так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона и параграфе 8 обзора Скопенкова . Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщения

Пусть M {displaystyle M} есть гладкое m {displaystyle m} -мерное многообразие, m > 1 {displaystyle m>1} .

• Если m {displaystyle m} не является степенью двойки, тогда существует вложение M {displaystyle M} в R 2 m − 1 {displaystyle mathbb {R} ^{2m-1}}
• M {displaystyle M} может быть погружено в R 2 m − 1 {displaystyle mathbb {R} ^{2m-1}}
  • Более того M {displaystyle M} может быть погружено в R 2 m − a {displaystyle mathbb {R} ^{2m-a}} , где a {displaystyle a} есть число единиц в двоичном представлении m {displaystyle m} .
    • Последний результат оптимален, для любого m {displaystyle m} можно построить m {displaystyle m} -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в R 2 m − a − 1 {displaystyle mathbb {R} ^{2m-a-1}} .

См. также