Комплекс Чеха

Комплекс Чеха — абстрактный симплициальный комплекс, построенный по облаку точек в любом метрическом пространстве, предназначенный для получения топологической информации об облаке точек или распределении, при помощи которого выбираются точки. Широко используется в топологическом анализе данных.

Комплекс Чеха строится C ˇ ε ( X ) {displaystyle {check {C}}_{varepsilon }(X)} для данного конечного облака точек X {displaystyle X} и числа ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} строится следующим образом:

• выбираются элементы множества X {displaystyle X} в качестве набора вершин C ˇ ε ( X ) {displaystyle {check {C}}_{varepsilon }(X)} ;
• для каждого σ ⊂ X {displaystyle sigma subset X} пусть σ ∈ C ˇ ε ( X ) {displaystyle sigma in {check {C}}_{varepsilon }(X)} , если множество ε {displaystyle varepsilon } -шаров с центрами в σ {displaystyle sigma } имеет непустое пересечение.

Другими словами, комплекс Чеха — это нерв множества ε {displaystyle varepsilon } -шаров с центрами в X {displaystyle X} .

Комплекс Чеха является подкомплексом комплекса Вьеториса — Рипса. В то время как комплекс Чеха вычислительно «дороже» комплекса Вьеториса — Рипса (с точки зрения вычислительной геометрии), поскольку необходимо проверять большее количество пересечений шаров в комплексе, теорема о нерве гарантирует, что комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров, тогда как комплекс Вьеториса — Рипса таким свойством в общем случае не обладает.