Проблема Гильберта — Арнольда
Проблема Гильберта — Арнольда в теории динамических систем относится к классу задач, связанных с оценкой числа предельных циклов. В ней требуется доказать, что в типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено по всем значениям параметра. Данная проблема исторически связана с 16-й проблемой Гильберта. В настоящий момент (2009) решены только некоторые упрощенные версии проблемы Гильберта — Арнольда. Математический контекст и постановка задачиНапомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости где P n {displaystyle P_{n}} , Q n {displaystyle Q_{n}} — многочлены степени не выше n {displaystyle n} . Задача (Экзистенциальная проблема Гильберта). Доказать, что для всякого n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } существует такое число H ( n ) < ∞ {displaystyle H(n)<infty } , что любая система вида (*) обладает не более чем H ( n ) {displaystyle H(n)} предельными циклами.Числа H ( n ) {displaystyle H(n)} называются числами Гильберта для предельных циклов. Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к компактному фазовому пространству и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как компактификация Пуанкаре. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до аналитического поля направлений на проективной плоскости мы компактифицируем базу параметров, а затем используя центральную проекцию сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы: Задача (Проблема глобальной конечности). В любом конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров B {displaystyle B} число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра ε ∈ B {displaystyle varepsilon in B} .Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода. Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах типичных семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором [AAIS] (1986), В. И. Арнольд предложил рассматривать конечно-параметрические семейства гладких векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему. Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно. Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно Ю. С. Ильяшенко [I94] и получил название проблемы Гильберта — Арнольда: Задача (Проблема Гильберта — Арнольда). В любом типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра.Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу. Локальная проблема Гильберта — АрнольдаБлагодаря компактности базы параметров и фазового пространства, мы можем свести проблему Гильберта — Арнольда к локальной проблеме изучения бифуркаций специальных вырожденных векторных полей. Напомним необходимые определения. Определение. Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек p 1 , … , p n {displaystyle p_{1},ldots ,p_{n}} (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых γ 1 , … , γ n {displaystyle gamma _{1},ldots ,gamma _{n}} (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга γ j {displaystyle gamma _{j}} соединяет точки p j {displaystyle p_{j}} и p j + 1 {displaystyle p_{j+1}} , где p n + 1 ≡ p 1 {displaystyle p_{n+1}equiv p_{1}} , j = 1 , … , n {displaystyle j=1,ldots ,n} .Определим «цикличность полицикла», то есть количество предельных циклов, рождающихся при его бифуркации: Определение. Рассмотрим некоторое семейство векторных полей { v ε ( x ) } ε ∈ B k {displaystyle {v_{varepsilon }(x)}_{varepsilon in B^{k}}} . Пусть при ε = ε ∗ {displaystyle varepsilon =varepsilon _{*}} система имеет полицикл γ {displaystyle gamma } . Цикличностью полицикла γ {displaystyle gamma } в семействе { v ε } {displaystyle {v_{varepsilon }}} называется такое минимальное число μ {displaystyle mu } , что найдется такая окрестность полицикла U ⊃ γ {displaystyle Usupset gamma } и такая окрестность V {displaystyle V} критического значения параметра ( R k ⊃ V ∋ ε ∗ {displaystyle mathbb {R} ^{k}supset V i varepsilon _{*}} ), что для всех ε ∈ V {displaystyle varepsilon in V} в области U {displaystyle U} одновременно существует не более μ {displaystyle mu } предельных циклов, причем хаусдорфово расстояние между этими циклами и γ {displaystyle gamma } стремится к нулю при ε → ε ∗ {displaystyle varepsilon o varepsilon _{*}} .Таким образом, цикличность зависит не только от векторного поля, содержащего полицикл, но и от семейства, в которое оно включается. Определение. Бифуркационным числом B ( k ) {displaystyle B(k)} называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном k {displaystyle k} -параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере.Определение бифуркационного числа уже не зависит от семейства, а только от размерности пространства параметров. Сформулируем локальную проблему Гильберта — Арнольда: Задача. Доказать, что для всякого k > 0 {displaystyle k>0} существует B ( k ) < ∞ {displaystyle B(k)<infty } , и найти явную верхнюю оценку.Из соображений компактности следует, что если в некотором семействе число предельных циклов не ограничено, то они обязаны накапливаться к какому-то полициклу, имеющему тем самым бесконечную цикличность. Таким образом, решение локальной проблемы Гильберта — Арнольда влечет за собой решение глобальной. Локальная проблема Гильберта — Арнольда решена для k = 1 {displaystyle k=1} и k = 2 {displaystyle k=2} ( B ( 1 ) = 1 {displaystyle B(1)=1} , B ( 2 ) = 2 {displaystyle B(2)=2} ). Для k = 3 {displaystyle k=3} существует стратегия решения, но она в настоящий момент не завершена. Применение этой же стратегии для оценки B ( 4 ) {displaystyle B(4)} представляется совершенно безнадежной задачей. Основные результаты в этой области для произвольных k {displaystyle k} получены для упрощенной версии локальной проблемы Гильберта—Арнольда, в которой рассматриваются только полициклы, содержащие лишь элементарные особые точки. Определение. Особая точка называется элементарной, если её матрица линеаризации имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Полицикл называется элементарным , если все его вершины являются элементарными особыми точками.Элементарным бифуркационным числом E ( k ) {displaystyle E(k)} называется максимальная цикличность элементарного полицикла в типичном k {displaystyle k} -параметрическом семействе. Теорема (Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, 1995 [IYa]). Для всякого k > 0 {displaystyle k>0} существует E ( k ) < ∞ {displaystyle E(k)<infty } . Теорема (В. Ю. Калошин, 2003 [K]). Для всякого k > 0 {displaystyle k>0} справедлива оценка E ( k ) < 25 k 2 {displaystyle E(k)<25^{k^{2}}} . |
