Десятичный логарифм
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b {displaystyle b} есть решение уравнения 10 x = b . {displaystyle 10^{x}=b.} Вещественный десятичный логарифм числа b {displaystyle b} существует, если b > 0 {displaystyle b>0} (комплексный десятичный логарифм существует для всех b ≠ 0 {displaystyle b eq 0} ). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его lg b {displaystyle lg ,b} . Примеры: lg 1 = 0 ; lg 10 = 1 ; lg 100 = 2 {displaystyle lg ,1=0;,lg ,10=1;,lg ,100=2} lg 1000000 = 6 ; lg 0 , 1 = − 1 ; lg 0,001 = − 3 {displaystyle lg ,1000000=6;,lg ,0{,}1=-1;,lg ,0{,}001=-3}В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log , Log , Log10 {displaystyle operatorname {log} ,operatorname {Log} ,operatorname {Log10} } , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму. Алгебраические свойстваВ нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны: Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например: lg | x y | = lg ( | x | ) + lg ( | y | ) , {displaystyle lg |xy|=lg(|x|)+lg(|y|),} lg | x y | = lg ( | x | ) − lg ( | y | ) , {displaystyle lg !left|{frac {x}{y}} ight|=lg(|x|)-lg(|y|),}Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей: lg ( x 1 x 2 … x n ) = lg ( x 1 ) + lg ( x 2 ) + ⋯ + lg ( x n ) {displaystyle lg(x_{1}x_{2}dots x_{n})=lg(x_{1})+lg(x_{2})+dots +lg(x_{n})}Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x , y {displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму: Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня. Связь десятичного и натурального логарифмов: ln x ≈ 2,302 59 lg x ; lg x ≈ 0,434 29 ln x {displaystyle ln xapprox 2{,}30259 lg x;quad lg xapprox 0{,}43429 ln x}Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример: lg 0,012 = lg ( 10 − 2 × 1 , 2 ) = − 2 + lg 1 , 2 ≈ − 2 + 0,079 181 = − 1,920 819 {displaystyle lg ,0{,}012=lg ,(10^{-2} imes 1{,}2)=-2+lg ,1{,}2approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху: lg 0,012 ≈ − 2 + 0,079 181 = 2 ¯ , 079181 {displaystyle lg ,0{,}012approx -2+0{,}079181={ar {2}}{,}079181}Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна. Функция десятичного логарифмаЕсли рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y = lg x . {displaystyle y=lg ,x.} Она определена при всех x > 0. {displaystyle x>0.} Область значений: E ( y ) = ( − ∞ ; + ∞ ) {displaystyle E(y)=(-infty ;+infty )} . График этой кривой часто называется логарифмикой. Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой: d d x lg x = lg e x {displaystyle {frac {d}{dx}}lg ,x={frac {lg ,e}{x}}}Ось ординат ( x = 0 ) {displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку: lim x → 0 + 0 lg x = − ∞ {displaystyle lim _{x o 0+0}lg ,x=-infty }ПрименениеЛогарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x {displaystyle x} (характеристику логарифма) [ lg x ] {displaystyle [lg x]} легко определить.
Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n {displaystyle n} разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . {displaystyle n.} Например: lg 8314 , 63 = lg 8,314 63 + 3 {displaystyle lg 8314{,}63=lg 8{,}31463+3}Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1 {displaystyle 1} до 10 {displaystyle 10} . Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров. Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал. Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел n {displaystyle n} одна и та же мантисса M {displaystyle M} , поскольку: lg ( n ) = lg ( x × 10 C ) = lg ( x ) + lg ( 10 C ) = lg ( x ) + C {displaystyle lg(n)=lg left(x imes 10^{C} ight)=lg(x)+lg left(10^{C} ight)=lg(x)+C} ,где 1 < x < 10 {displaystyle 1<x<10} — значащая часть числа n {displaystyle n} . ИсторияПервые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера). В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов: |
