Спектральная плотность мощности
|
Спектральная плотность мощности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала в зависимости от частоты, то есть мощность, приходящаяся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии. Например, в Международной системе единиц (СИ): Вт/Гц = Вт/с−1 = Вт·с. Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде, например, акустических. В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади, например: Вт·Гц-1·м-2 (формально можно заменить на Дж·м-2, но тогда физическое содержание величины становится менее наглядным). Формальное определениеПусть x ( t ) {displaystyle x(t)} — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени [ − T 2 , T 2 ] {displaystyle left[-{frac {T}{2}},{frac {T}{2}} ight]} . Тогда энергия сигнала на данном интервале равна: E T = ∫ − T / 2 T / 2 x 2 ( t ) d t {displaystyle E_{T}=int limits _{-T/2}^{T/2}x^{2}(t),mathrm {d} t} .В соответствии с теоремой Парсеваля E T {displaystyle E_{T}} представима в виде: E T = ∫ − ∞ + ∞ | F T ( ω ) | 2 d ω {displaystyle E_{T}=int limits _{-infty }^{+infty }|F_{T}(omega )|^{2},mathrm {d} omega } ,где F T ( ω ) = 1 2 π ∫ − T / 2 T / 2 x ( t ) e − i ω t d t {displaystyle F_{T}(omega )={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-iomega t},dt} — преобразование Фурье от x ( t ) {displaystyle x(t)} . При T → + ∞ {displaystyle T o +infty } , средняя мощность имеет вид: W = lim T → + ∞ E T T = ∫ − ∞ ∞ lim T → + ∞ | F T ( ω ) | 2 T d ω {displaystyle W=lim _{T o +infty }{frac {E_{T}}{T}}=int limits _{-infty }^{infty }lim _{T o +infty }{frac {|F_{T}(omega )|^{2}}{T}},mathrm {d} omega } .S ( ω ) = lim T → + ∞ | F T ( ω ) | 2 T {displaystyle S(omega )=lim _{T o +infty }{frac {|F_{T}(omega )|^{2}}{T}}} — спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности) или энергетический спектр сигнала. Спектральная плотность мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектральные плотности мощности. Методы оценкиОценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за трудоёмкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена — Тьюки) и периодограммному методу. |
