Лемма Морса
|
Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса. ФормулировкаПусть f : R n → R {displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} } — функция класса C r + 2 {displaystyle C^{r+2}} , где r ≥ 1 {displaystyle rgeq 1} , имеющая точку 0 ∈ R n {displaystyle 0in mathbb {R} ^{n}} своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал ∂ f ∂ x {displaystyle {frac {partial f}{partial x}}} обращается в нуль, а гессиан | ∂ 2 f ∂ x 2 | {displaystyle {Bigl |}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr |}} отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности U {displaystyle U} точки 0 {displaystyle 0} существует такая система C r {displaystyle C^{r}} -гладких локальных координат (карта) ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} с началом в точке 0 {displaystyle 0} , что для всех x ∈ U {displaystyle xin U} имеет место равенство f ( x ) = f ( 0 ) − x 1 2 − ⋯ − x k 2 + x k + 1 2 + ⋯ + x n 2 {displaystyle f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+dots +x_{n}^{2}} .При этом число k {displaystyle k} , определяемое сигнатурой квадратичной части ростка f {displaystyle f} в точке 0 {displaystyle 0} , называется индексом критической точки 0 {displaystyle 0} данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса. Вариации и обобщенияТеорема ТужронаВ окрестности критической точки 0 {displaystyle 0} конечной кратности μ {displaystyle mu } существует система координат, в которой гладкая функция f ( x ) {displaystyle f(x)} имеет вид многочлена P μ + 1 ( x ) {displaystyle P_{mu +1}(x)} степени μ + 1 {displaystyle mu +1} (в качестве P μ + 1 ( x ) {displaystyle P_{mu +1}(x)} можно взять многочлен Тейлора функции f ( x ) {displaystyle f(x)} в точке 0 {displaystyle 0} в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность μ = 1 {displaystyle mu =1} , и теорема Тужрона превращается в лемму Морса. Лемма Морса с параметрамиПусть f ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y m ) : R n + m → R {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n},y_{1},ldots ,y_{m}):mathbb {R} ^{n+m} o mathbb {R} } — гладкая функция, имеющая начало координат 0 {displaystyle 0} своей критической точкой, невырожденной по переменным x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} . Тогда в окрестности точки 0 {displaystyle 0} существуют гладкие координаты, в которых f ( x , y ) = α 1 x 1 2 + ⋯ + α n x n 2 + f 0 ( y 1 , … , y m ) , α i = ± 1 , {displaystyle f(x,y)=alpha _{1}x_{1}^{2}+cdots +alpha _{n}x_{n}^{2},+,f_{0}(y_{1},ldots ,y_{m}),quad alpha _{i}=pm 1,}где f 0 {displaystyle f_{0}} — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от n + m {displaystyle n+m} переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции). Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом. О доказательствахОбычно доказывается прямым построением диффеоморфизма. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера. |
