Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки



Случай известной дисперсии

Пусть X 1 , … , X n ∼ N ( μ , σ 2 ) {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}sim mathrm {N} (mu ,sigma ^{2})} — независимая выборка из нормального распределения, где σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} — известная дисперсия. Определим произвольное α ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle alpha in [0,1]} и построим доверительный интервал для неизвестного среднего μ {displaystyle mu } .

Утверждение. Случайная величина

Z = X ¯ − μ σ / n {displaystyle Z={frac {{ar {X}}-mu }{sigma /{sqrt {n}}}}}

имеет стандартное нормальное распределение N ( 0 , 1 ) {displaystyle mathrm {N} (0,1)} . Пусть z α {displaystyle z_{alpha }} — это α {displaystyle alpha } -квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

P ( − z 1 − α 2 ≤ Z ≤ z 1 − α 2 ) = 1 − α {displaystyle mathbb {P} left(-z_{1-{frac {alpha }{2}}}leq Zleq z_{1-{frac {alpha }{2}}} ight)=1-alpha } .

После подстановки выражения для Z {displaystyle Z} и несложных алгебраических преобразований получаем:

P ( X ¯ − z 1 − α 2 σ n ≤ μ ≤ X ¯ + z 1 − α 2 σ n ) = 1 − α {displaystyle mathbb {P} left({ar {X}}-z_{1-{frac {alpha }{2}}}{frac {sigma }{sqrt {n}}}leq mu leq {ar {X}}+z_{1-{frac {alpha }{2}}}{frac {sigma }{sqrt {n}}} ight)=1-alpha } .

Случай неизвестной дисперсии

Пусть X 1 , … , X n ∼ N ( μ , σ 2 ) {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}sim mathrm {N} (mu ,sigma ^{2})} — независимая выборка из нормального распределения, где μ , σ 2 {displaystyle mu ,sigma ^{2}} — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего μ {displaystyle mu } .

Утверждение. Случайная величина

T = X ¯ − μ S / n {displaystyle T={frac {{ar {X}}-mu }{S/{sqrt {n}}}}} ,

где S {displaystyle S} — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с n − 1 {displaystyle n-1} степенями свободы t ( n − 1 ) {displaystyle mathrm {t} (n-1)} . Пусть t α , n − 1 {displaystyle t_{alpha ,n-1}} — α {displaystyle alpha } -квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

P ( − t 1 − α 2 , n − 1 ≤ T ≤ t 1 − α 2 , n − 1 ) = 1 − α {displaystyle mathbb {P} left(-t_{1-{frac {alpha }{2}},n-1}leq Tleq t_{1-{frac {alpha }{2}},n-1} ight)=1-alpha } .

После подстановки выражения для T {displaystyle T} и несложных алгебраических преобразований получаем:

P ( X ¯ − t 1 − α 2 , n − 1 S n ≤ μ ≤ X ¯ + t 1 − α 2 , n − 1 S n ) = 1 − α {displaystyle mathbb {P} left({ar {X}}-t_{1-{frac {alpha }{2}},n-1}{frac {S}{sqrt {n}}}leq mu leq {ar {X}}+t_{1-{frac {alpha }{2}},n-1}{frac {S}{sqrt {n}}} ight)=1-alpha } .
Добавлено Admin 19-05-2022, 10:00 Просмотров: 21
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent