Софокусные конические сечения
Софокусные конические сечения — в геометрии конические сечения, обладающие одними и теми же фокусами. Поскольку эллипсы и гиперболы обладают двумя фокусами, то существуют софокусные эллипсы и софокусные гиперболы, а также эллипс и гиперболы могут быть софокусными друг другу. В том случае, когда семейство эллипсов софокусно семейству гипербол, каждый эллипс ортогонально пересекает каждую гиперболу. Параболы обладают только одним фокусом, поэтому принять считать софокусными те параболы, которые имеют общий фокус и одну и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка вне оси симметрии лежит на двух софокусных параболах, пересекающих друг друга под прямым углом. Понятие софокусных конических сечений можно обобщить на трёхмерное пространство, рассматривая софокусные квадрики. Софокусные эллипсыЭллипс, не являющийся окружностью, однозначно определяется положением фокусов F 1 , F 2 {displaystyle F_{1},;F_{2}} и точкой вне большой оси. Пучок софокусных эллипсов с фокусами F 1 = ( c , 0 ) , F 2 = ( − c , 0 ) {displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)} можно описать уравнением
в котором большая полуось a {displaystyle a} является параметром (фокальное расстояние c {displaystyle c} однозначно определяется расположением фокусов). Поскольку точка на эллипсе однозначно задаёт значение a {displaystyle a} , то
Софокусные гиперболыГипербола однозначно определяется положением фокусов F 1 , F 2 {displaystyle F_{1},;F_{2}} и точкой вне осей симметрии. Пучок софокусных гипербол с фокусами F 1 = ( c , 0 ) , F 2 = ( − c , 0 ) {displaystyle F_{1}=(c,0),;F_{2}=(-c,0)} можно описать уравнением
в котором большая полуось a {displaystyle a} является параметром (фокальное расстояние c {displaystyle c} однозначно определяется расположением фокусов). Поскольку точка на гиперболе однозначно задаёт значение a {displaystyle a} , то
Софокусные эллипсы и гиперболыУравнение
описывает эллипс при c < a {displaystyle c<a} и гиперболу при 0 < a < c {displaystyle 0<a<c} . В литературе можно найти другой вариант представления:
где a , b {displaystyle a,b} — полуоси данного эллипса (тогда и фокусы F 1 , F 2 {displaystyle F_{1},;F_{2}} заданы) и λ {displaystyle lambda } является параметром пучка. Рассмотрение пучков софокусных эллипсов и гипербол приводит к следующему выводу о касательной и нормали в заданной точке (нормаль к эллипсу и касательная к гиперболе делят пополам угол между направлениями из точки к фокусам):
Таким образом, можно покрыть плоскость ортогональной системой софокусных эллипсов и гипербол. Такую ортогональную сетку можно использовать как основу эллиптической системы координат. Софокусные параболыПараболы обладают только одним фокусом. Можно рассматривать параболу как предел пучка софокусных эллипсов или гипербол, у которых один фокус зафиксирован, а второй удаляется на бесконечность. Если подобное рассмотрение провести для софокусных эллипсов и гипербол, можно получить систему из двух пучков софокусных парабол. Уравнение y 2 = 2 p ( x + p / 2 ) = 2 p x + p 2 {displaystyle y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}} описывает параболу с началом координат в фокусе, при этом ось x является осью симметрии. Рассмотрим два пучка парабол:
Из уравнения параболы следует, что
Вычисления показывают, что
Векторы ( n → 1 = ( p , ∓ p q ) T , n → 2 = ( q , ± p q ) T ) {displaystyle {vec {n}}_{1}=left(p,mp {sqrt {pq}} ight)^{T}, {vec {n}}_{2}=left(q,pm {sqrt {pq}} ight)^{T})} являются векторами нормали в точках пересечения. Скалярное произведение данных векторов равно нулю. По аналогии с софокусными эллипсами и гиперболами, плоскость можно покрыть ортогональной сеткой парабол. Теорема Грейвса о построении софокусных эллипсовВ 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью нити:
Если эллипс E представляет собой отрезок F 1 F 2 {displaystyle F_{1}F_{2}} , то софокусные ему эллипсы будут обладать фокусами F 1 , F 2 {displaystyle F_{1},F_{2}} . Софокусные поверхности второго порядкаПонятие софокусных поверхностей второго порядка является формальным обобщением понятия софокусных конических сечений на трёхмерное пространство. Выберем три вещественных числа a , b , c {displaystyle a,b,c} при условии a > b > c > 0 {displaystyle a>b>c>0} . Уравнение
(В данном контексте параметр c {displaystyle c} не является фокальным расстоянием эллипсоида). Аналогично случаю софокусных эллипсов/гипербол имеем свойства:
Доказательство существования и единственности трёх квадрик, проходящих через данную точку: для точки ( x 0 , y 0 , z 0 ) {displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} при x 0 ≠ 0 , y 0 ≠ 0 , z 0 ≠ 0 {displaystyle x_{0} eq 0,y_{0} eq 0,z_{0} eq 0} рассмотрим функцию f ( λ ) = x 0 2 a 2 − λ + y 0 2 b 2 − λ + z 0 2 c 2 − λ − 1 {displaystyle f(lambda )={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-lambda }}-1} .Данная функция имеет три вертикальные асимптоты c 2 < b 2 < a 2 {displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}} и является непрерывной и монотонно возрастающей во всех интервалах ( − ∞ , c 2 ) , ( c 2 , b 2 ) , ( b 2 , a 2 ) , ( a 2 , ∞ ) {displaystyle (-infty ,c^{2}),;(c^{2},b^{2}),;(b^{2},a^{2}),;(a^{2},infty )} . Анализ поведения функции вблизи вертикальных асимптот и при λ → ± ∞ {displaystyle lambda o pm infty } приводит к выводу о том, что f {displaystyle f} имеет три корня λ 1 , λ 2 , λ 3 {displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}} при λ 1 < c 2 < λ 2 < b 2 < λ 3 < a 2 . {displaystyle {color {red}lambda _{1}}<c^{2}<{color {red}lambda _{2}}<b^{2}<{color {red}lambda _{3}}<a^{2} .} Доказательство ортогональности поверхностей: рассмотрим пучки функций F λ ( x , y , z ) = x 2 a 2 − λ + y 2 b 2 − λ + z 2 c 2 − λ {displaystyle F_{lambda }(x,y,z)={frac {x^{2}}{a^{2}-lambda }}+{frac {y^{2}}{b^{2}-lambda }}+{frac {z^{2}}{c^{2}-lambda }}} с параметром λ {displaystyle lambda } . Софокусные квадрики можно описать соотношением F λ ( x , y , z ) = 1 {displaystyle F_{lambda }(x,y,z)=1} . Для любых двух пересекающихся квадрик при F λ i ( x , y , z ) = 1 , F λ k ( x , y , z ) = 1 {displaystyle F_{lambda _{i}}(x,y,z)=1,;F_{lambda _{k}}(x,y,z)=1} в общей точке ( x , y , z ) {displaystyle (x,y,z)} выполняется равенство 0 = F λ i ( x , y , z ) − F λ k ( x , y , z ) = ⋯ = ( λ i − λ k ) ( x 2 ( a 2 − λ i ) ( a 2 − λ k ) + y 2 ( b 2 − λ i ) ( b 2 − λ k ) + z 2 ( c 2 − λ i ) ( c 2 − λ k ) ) . {displaystyle 0=F_{lambda _{i}}(x,y,z)-F_{lambda _{k}}(x,y,z)=dotsb =(lambda _{i}-lambda _{k})left({frac {x^{2}}{(a^{2}-lambda _{i})(a^{2}-lambda _{k})}}+{frac {y^{2}}{(b^{2}-lambda _{i})(b^{2}-lambda _{k})}}+{frac {z^{2}}{(c^{2}-lambda _{i})(c^{2}-lambda _{k})}} ight) .}Отсюда скалярное произведение градиентов в общей точке grad F λ i ⋅ grad F λ k = 4 ( x 2 ( a 2 − λ i ) ( a 2 − λ k ) + y 2 ( b 2 − λ i ) ( b 2 − λ k ) + z 2 ( c 2 − λ i ) ( c 2 − λ k ) ) = 0 , {displaystyle operatorname {grad} F_{lambda _{i}}cdot operatorname {grad} F_{lambda _{k}}=4;left({frac {x^{2}}{(a^{2}-lambda _{i})(a^{2}-lambda _{k})}}+{frac {y^{2}}{(b^{2}-lambda _{i})(b^{2}-lambda _{k})}}+{frac {z^{2}}{(c^{2}-lambda _{i})(c^{2}-lambda _{k})}} ight)=0 ,}что доказывает ортогональность. Приложения.
В физике софокусные эллипсоиды являются эквипотенциальными поверхностями:
Теорема АйвориТеорема Айвори, названная по имени шотландского математика Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях четырёхугольника, образованного ортогональными кривыми.
Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы а H ( u ) {displaystyle H(u)} — софокусная гипербола с уравнением x 2 u 2 + y 2 u 2 − c 2 = 1 , c > u . {displaystyle {frac {x^{2}}{u^{2}}}+{frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1 ,quad c>u .}Вычисление точек пересечения E ( a ) {displaystyle E(a)} и H ( u ) {displaystyle H(u)} даёт координаты четырёх точек
Диагонали четырёхугольника
Пусть E ( a 1 ) , E ( a 2 ) {displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})} являются софокусными эллипсами, а H ( u 1 ) , H ( u 2 ) {displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})} являются софокусными гиперболами с теми же фокусами. Диагонали четырёхугольника, образованного точками пересечения с координатами P 11 = ( a 1 u 1 , ( a 1 2 − 1 ) ( 1 − u 1 2 ) ) , P 22 = ( a 2 u 2 , ( a 2 2 − 1 ) ( 1 − u 2 2 ) ) , {displaystyle P_{11}=left(a_{1}u_{1},;{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}} ight) ,quad P_{22}=left(a_{2}u_{2},;{sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}} ight) ,} P 12 = ( a 1 u 2 , ( a 1 2 − 1 ) ( 1 − u 2 2 ) ) , P 21 = ( a 2 u 1 , ( a 2 2 − 1 ) ( 1 − u 1 2 ) ) {displaystyle P_{12}=left(a_{1}u_{2},;{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}} ight) ,quad P_{21}=left(a_{2}u_{1},;{sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}} ight)}имеют длины | P 11 P 22 | 2 = ( a 2 u 2 − a 1 u 1 ) 2 + ( ( a 2 2 − 1 ) ( 1 − u 2 2 ) − ( a 1 2 − 1 ) ( 1 − u 1 2 ) ) 2 = ⋯ = a 1 2 + a 2 2 + u 1 2 + u 2 2 − 2 ( 1 + a 1 a 2 u 1 u 2 + ( a 1 2 − 1 ) ( a 2 2 − 1 ) ( 1 − u 1 2 ) ( 1 − u 2 2 ) ) {displaystyle {egin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+left({sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}} ight)^{2}=dotsb &=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2,left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}} ight)end{aligned}}}Последнее выражение является инвариантом по отношению к замене u 1 ↔ u 2 {displaystyle u_{1}leftrightarrow u_{2}} . Подобная замена приводит к выражению для длины | P 1 2 P 2 1 | 2 {displaystyle |P_{1color {red}2}P_{2color {red}1}|^{2}} . Следовательно, имеет место равенство
Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой несложные расчёты. Айвори также доказал теорему для трёхмерного случая:
|