Электрический поток
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Электрический поток

Электрический поток



Электрический поток ― поток вектора напряжённости электрического поля ( E {displaystyle mathbf {E} } ) или электрической индукции ( D {displaystyle mathbf {D} } ) через некоторую поверхность S {displaystyle S} . Вычисляется как интеграл по этой поверхности:

Φ = ∫ S E → ⋅ d S → {displaystyle Phi =int _{S}{vec {E}}cdot d{vec {S}}quad } или Ψ = ∫ S D → ⋅ d S → {displaystyle quad Psi =int _{S}{vec {D}}cdot d{vec {S}}} .

На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (В ⋅ {displaystyle cdot } м, для Φ {displaystyle Phi } ) или кулон (Кл, для Ψ {displaystyle Psi } ). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: Φ E {displaystyle Phi _{E}} , Ψ D {displaystyle Psi _{D}} .

Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток ( Ψ D {displaystyle Psi _{D}} ), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме).

Общий случай

В общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например d Φ E {displaystyle dPhi _{E}} ), то есть скалярное произведение вектора E → {displaystyle {vec {E}}} в данной точке на малый векторный элемент площадки:

d Φ E = E ⋅ d S {displaystyle dPhi _{E}=mathbf {E} cdot dmathbf {S} } .

Элемент d S {displaystyle dmathbf {S} } записывается как произведение площади d S {displaystyle dS} данной площадки на единичный вектор нормали к ней d S = d S n {displaystyle dmathbf {S} =dS,mathbf {n} } , так что выражение для элементарного потока приобретает вид

d Φ E = E ⋅ n d S = E d S cos ⁡ θ {displaystyle {mathit {d}}Phi _{E}=mathbf {E} cdot mathbf {n} ,dS=E,dS,cos heta } ,

где через θ {displaystyle heta } обозначен угол между векторами E → {displaystyle {vec {E}}} и n → {displaystyle {vec {n}}} . Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади:

Φ E = ∫ S d Φ E {displaystyle Phi _{E}=int _{S}{mathit {d}}Phi _{E}} .

При вычислении d Ψ D {displaystyle dPsi _{D}} выполняются аналогичные действия, только с вектором D → {displaystyle {vec {D}}} . В общем случае не существует простой связи ни между d Ψ D {displaystyle dPsi _{D}} и d Φ E {displaystyle dPhi _{E}} , ни между Ψ D {displaystyle Psi _{D}} и Φ E {displaystyle Phi _{E}} .

Случай однородного поля

Если электрическое поле однородно вблизи поверхности S {displaystyle S} , оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле

Φ E = E ⋅ ∫ S cos ⁡ θ d S {displaystyle Phi _{E}=Ecdot int _{S}cos heta ,dS} ,

а если ещё поверхность плоская, то по формуле

Φ E = E S cos ⁡ θ {displaystyle Phi _{E}=E,S,cos heta } .

Если однородно поле D → {displaystyle {vec {D}}} , подобное упрощение возможно для Ψ D {displaystyle Psi _{D}} . При этом однородность E → {displaystyle {vec {E}}} не всегда означает однородность D → {displaystyle {vec {D}}} и наоборот.

Случай слабых полей

В ситуации со слабыми электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии, векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой:

D = ε 0 ε E {displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}varepsilon ,mathbf {E} } ,

где ε 0 {displaystyle varepsilon _{0}} ― диэлектрическая постоянная, а ε {displaystyle varepsilon } — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат.

В таком случае для элементарных потоков d Ψ D {displaystyle dPsi _{D}} и d Φ E {displaystyle dPhi _{E}} имеется простое соотношение:

d Ψ D = ε 0 ε d Φ E {displaystyle dPsi _{D}=varepsilon _{0}varepsilon ,dPhi _{E}} .

Если, кроме того, диэлектрик однороден ( ε = {displaystyle varepsilon =,} const), то полные потоки оказываются также связаны константой:

Ψ D = ε 0 ε Φ E {displaystyle Psi _{D}=varepsilon _{0}varepsilon ,Phi _{E}} .

Для вакуума ( ε = 1 {displaystyle varepsilon =1} ) выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях.

Теорема Гаусса и поток

Согласно теореме Гаусса, электрический поток через замкнутую поверхность S {displaystyle S} равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов. Выражение теоремы может быть записано для потока как E → {displaystyle {vec {E}}} , так и D → {displaystyle {vec {D}}} :

Φ E = ∮ S E d S = ε 0 − 1 Q t o t {displaystyle Phi _{mathbf {E} }=oint _{S}mathbf {E} ,mathrm {d} mathbf {S} =varepsilon _{0}^{-1}Q_{tot}} , Ψ D = ∮ S D d S = Q {displaystyle Psi _{mathbf {D} }=oint _{S}mathbf {D} ,mathrm {d} mathbf {S} =Q} ,

но смысл понятия «все заряды» различен. В случае E → {displaystyle {vec {E}}} имеются в виду вообще все заряды ( Q t o t {displaystyle Q_{tot}} ) — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика), а в случае D → {displaystyle {vec {D}}} — только свободные ( Q {displaystyle Q} ).

Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла, в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного):

∮ S D d S = ∫ V ρ d V {displaystyle oint _{S}mathbf {D} ,mathrm {d} mathbf {S} =int _{V} ho ,dV} ,

где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности S {displaystyle S} .


Добавлено Admin 24-01-2022, 12:00 Просмотров: 36
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent