Электрический поток
|
Электрический поток ― поток вектора напряжённости электрического поля ( E {displaystyle mathbf {E} } ) или электрической индукции ( D {displaystyle mathbf {D} } ) через некоторую поверхность S {displaystyle S} . Вычисляется как интеграл по этой поверхности: Φ = ∫ S E → ⋅ d S → {displaystyle Phi =int _{S}{vec {E}}cdot d{vec {S}}quad } или Ψ = ∫ S D → ⋅ d S → {displaystyle quad Psi =int _{S}{vec {D}}cdot d{vec {S}}} .На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (В ⋅ {displaystyle cdot } м, для Φ {displaystyle Phi } ) или кулон (Кл, для Ψ {displaystyle Psi } ). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: Φ E {displaystyle Phi _{E}} , Ψ D {displaystyle Psi _{D}} . Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток ( Ψ D {displaystyle Psi _{D}} ), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме). Общий случайВ общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например d Φ E {displaystyle dPhi _{E}} ), то есть скалярное произведение вектора E → {displaystyle {vec {E}}} в данной точке на малый векторный элемент площадки: d Φ E = E ⋅ d S {displaystyle dPhi _{E}=mathbf {E} cdot dmathbf {S} } .Элемент d S {displaystyle dmathbf {S} } записывается как произведение площади d S {displaystyle dS} данной площадки на единичный вектор нормали к ней d S = d S n {displaystyle dmathbf {S} =dS,mathbf {n} } , так что выражение для элементарного потока приобретает вид d Φ E = E ⋅ n d S = E d S cos θ {displaystyle {mathit {d}}Phi _{E}=mathbf {E} cdot mathbf {n} ,dS=E,dS,cos heta } ,где через θ {displaystyle heta } обозначен угол между векторами E → {displaystyle {vec {E}}} и n → {displaystyle {vec {n}}} . Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади: Φ E = ∫ S d Φ E {displaystyle Phi _{E}=int _{S}{mathit {d}}Phi _{E}} .При вычислении d Ψ D {displaystyle dPsi _{D}} выполняются аналогичные действия, только с вектором D → {displaystyle {vec {D}}} . В общем случае не существует простой связи ни между d Ψ D {displaystyle dPsi _{D}} и d Φ E {displaystyle dPhi _{E}} , ни между Ψ D {displaystyle Psi _{D}} и Φ E {displaystyle Phi _{E}} . Случай однородного поляЕсли электрическое поле однородно вблизи поверхности S {displaystyle S} , оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле Φ E = E ⋅ ∫ S cos θ d S {displaystyle Phi _{E}=Ecdot int _{S}cos heta ,dS} ,а если ещё поверхность плоская, то по формуле Φ E = E S cos θ {displaystyle Phi _{E}=E,S,cos heta } .Если однородно поле D → {displaystyle {vec {D}}} , подобное упрощение возможно для Ψ D {displaystyle Psi _{D}} . При этом однородность E → {displaystyle {vec {E}}} не всегда означает однородность D → {displaystyle {vec {D}}} и наоборот. Случай слабых полейВ ситуации со слабыми электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии, векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой: D = ε 0 ε E {displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}varepsilon ,mathbf {E} } ,где ε 0 {displaystyle varepsilon _{0}} ― диэлектрическая постоянная, а ε {displaystyle varepsilon } — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат. В таком случае для элементарных потоков d Ψ D {displaystyle dPsi _{D}} и d Φ E {displaystyle dPhi _{E}} имеется простое соотношение: d Ψ D = ε 0 ε d Φ E {displaystyle dPsi _{D}=varepsilon _{0}varepsilon ,dPhi _{E}} .Если, кроме того, диэлектрик однороден ( ε = {displaystyle varepsilon =,} const), то полные потоки оказываются также связаны константой: Ψ D = ε 0 ε Φ E {displaystyle Psi _{D}=varepsilon _{0}varepsilon ,Phi _{E}} .Для вакуума ( ε = 1 {displaystyle varepsilon =1} ) выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях. Теорема Гаусса и потокСогласно теореме Гаусса, электрический поток через замкнутую поверхность S {displaystyle S} равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов. Выражение теоремы может быть записано для потока как E → {displaystyle {vec {E}}} , так и D → {displaystyle {vec {D}}} : Φ E = ∮ S E d S = ε 0 − 1 Q t o t {displaystyle Phi _{mathbf {E} }=oint _{S}mathbf {E} ,mathrm {d} mathbf {S} =varepsilon _{0}^{-1}Q_{tot}} , Ψ D = ∮ S D d S = Q {displaystyle Psi _{mathbf {D} }=oint _{S}mathbf {D} ,mathrm {d} mathbf {S} =Q} ,но смысл понятия «все заряды» различен. В случае E → {displaystyle {vec {E}}} имеются в виду вообще все заряды ( Q t o t {displaystyle Q_{tot}} ) — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика), а в случае D → {displaystyle {vec {D}}} — только свободные ( Q {displaystyle Q} ). Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла, в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного): ∮ S D d S = ∫ V ρ d V {displaystyle oint _{S}mathbf {D} ,mathrm {d} mathbf {S} =int _{V} ho ,dV} ,где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности S {displaystyle S} . |
