Стереографическая проекция
Стереографическая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость. ОпределениеТочка N {displaystyle N} (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости Π {displaystyle Pi } . Через каждую точку x ≠ N {displaystyle x eq N} сферы проходит единственная прямая D {displaystyle D} , соединяющая N {displaystyle N} и x {displaystyle x} . Прямая D {displaystyle D} пересекает плоскость в единственной точке X {displaystyle X} , которая, таким образом, является образом точки x {displaystyle x} при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой N {displaystyle N} на плоскость Π {displaystyle Pi } . Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки N {displaystyle N} . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом ∞ {displaystyle infty } . Плоскость, дополненная элементом ∞ {displaystyle infty } , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза x → N {displaystyle x o N} его образ X → ∞ {displaystyle X o infty } . Свойства
ПриложенияВ фотографииСтереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции. В кристаллографииСтереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов. ИсторияСтереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии. Вариации и обобщенияСтереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и E — гиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки P ∈ Sn − {Q} является точка P′ пересечения линии Q P ¯ {displaystyle scriptstyle {overline {QP}}} с E. Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа. |