Алгебраическая теория чисел
Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей. В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители. Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство x n = z n − y n = ∏ i = 1 n ( z − a i y ) {displaystyle x^{n}=z^{n}-y^{n}=prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}y)} , где a i {displaystyle a_{i}} — корни степени n {displaystyle n} из единицы.Таким образом Куммер определил новые целые числа вида z + a i y {displaystyle z+a_{i}y} . Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n {displaystyle n} , то к нему нельзя подойти ближе чем на Q − n {displaystyle Q^{-n}} , приближаясь дробями вида P / Q {displaystyle P/Q} , где P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} — целые взаимно простые числа. После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп и многое другое. Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел). |