Момент силы
Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы r → {displaystyle {vec {r}}} и вектора силы F → {displaystyle {vec {F}}} . Момент силы обозначается символом M → {displaystyle {vec {M}}} или, реже, τ → {displaystyle {vec { au }}} (тау). Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O. Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось M ∥ {displaystyle M_{parallel }} ; такая проекция называется моментом силы относительно оси. Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела L → {displaystyle {vec {L}}} относительно того же начала O со временем t {displaystyle t} : имеет место соотношение d L → / d t = M → {displaystyle d{vec {L}}/dt={vec {M}}} . В статике, равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя. Определение, общие сведенияВ физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело. В простейшем случае, если сила F → {displaystyle {vec {F}}} приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины F {displaystyle F} на расстояние x {displaystyle x} от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»: M = [ f o r c e ] ⋅ [ f o r c e a r m ] = F x {displaystyle M=[{ m {force}}]cdot [{ m {force,arm}}]=Fx} .Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м. Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации F 1 x 1 = F 2 x 2 {displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}} . Для случаев более сложных движений и более сложных объектов, определение момента как произведения F x {displaystyle Fx} требует универсализации. Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате). Момент силы относительно точкиВ общем случае, момент силы F → {displaystyle {vec {F}}} , приложенной к телу, определяется как векторное произведение M → = [ r → × F → ] {displaystyle {vec {M}}=left[{vec {r}} imes {vec {F}} ight]} ,где r → {displaystyle {vec {r}}} — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор M → {displaystyle {vec {M}}} перпендикулярен векторам r → {displaystyle {vec {r}}} и F → {displaystyle {vec {F}}} . Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела L → {displaystyle {vec {L}}} , то начало O всегда выбирается одинаковым для L → {displaystyle {vec {L}}} и M → {displaystyle {vec {M}}} . Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси. В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются: M → = ∑ i [ r → i × F → i ] {displaystyle {vec {M}}=sum _{i}left[{vec {r}}_{i} imes {vec {F}}_{i} ight]} ,где r → i {displaystyle {vec {r}}_{i}} — радиус-вектор точки приложения i {displaystyle i} -й силы F → i {displaystyle {vec {F}}_{i}} . В случае силы, распределённой с плотностью d F → / d V {displaystyle d{vec {F}}/dV} , M → = ∫ V [ r → × d F → d V ] d V {displaystyle {vec {M}}=int limits _{V}left[{vec {r}} imes {frac {d{vec {F}}}{dV}} ight]dV} .Если d F → / d V {displaystyle d{vec {F}}/dV} (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие. Момент силы относительно осиМоментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента M → {displaystyle {vec {M}}} на ось, то есть M ∥ = M → ⋅ e → o {displaystyle M_{parallel }={vec {M}}cdot {vec {e}}_{o}} ,где e → o {displaystyle {vec {e}}_{o}} — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как M ∥ = ± | r → ⊥ × F → ⊥ | {displaystyle M_{parallel }=pm left|{vec {r}}_{perp } imes {vec {F}}_{perp } ight|} ,где через r → ⊥ {displaystyle {vec {r}}_{perp }} и F → ⊥ {displaystyle {vec {F}}_{perp }} обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси. В отличие от момента силы M → {displaystyle {vec {M}}} , величина момента силы относительно оси M ∥ {displaystyle M_{parallel }} не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси. Для краткости, символ параллельности и знак могут опускаться, а M ∥ {displaystyle M_{parallel }} (как и M → {displaystyle {vec {M}}} ) именоваться «моментом силы». Единицы измеренияМомент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр (джоуль) в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему. Размерность M → {displaystyle {vec {M}}} совпадает с размерностями энергии и механической работы. Некоторые примерыФормула момента рычагаМомент силы, действующей на рычаг, равен M → = r F sin α ⋅ e → o {displaystyle {vec {M}}=rFsin alpha cdot {vec {e}}_{o}}или, если записать момент силы относительно оси, M ∥ = r F sin α {displaystyle M_{parallel }=rFsin alpha } ,где α {displaystyle alpha } — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно r sin α {displaystyle rsin alpha } . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при α = π / 2 {displaystyle alpha =pi /2} . При сонаправленности F → {displaystyle {vec {F}}} и рычага момент равен нулю. Статическое равновесиеДля того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: Σ F h o r i z o n t a l = 0 , Σ F v e r t i c a l = 0 {displaystyle Sigma F_{horizontal}=0,,Sigma F_{vertical}=0} и момент силы в третьем измерении: Σ M = 0 {displaystyle Sigma M=0} . Движение твёрдого телаДвижение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё. Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс. L o → = I c ω → + [ M ( r o → − r c → ) , v c → ] . {displaystyle {vec {L_{o}}}=I_{c},{vec {omega }}+[M({vec {r_{o}}}-{vec {r_{c}}}),{vec {v_{c}}}].}Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее. Продифференцируем это выражение по времени. И если I {displaystyle I} — постоянная величина во времени, то M → = I d ω → d t = I α → , {displaystyle {vec {M}}=I{frac {d{vec {omega }}}{dt}}=I{vec {alpha }},}где α → {displaystyle {vec {alpha }}} — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск. Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера: M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] . {displaystyle {vec {M_{c}}}=I_{c}{frac {d{vec {omega }}}{dt}}+[{vec {w}},I_{c}{vec {w}}].}Связь с другими величинамиС моментом импульсаМомент силы — производная момента импульса L → = r → × p → {displaystyle {vec {L}}={vec {r}} imes {vec {p}}} относительно точки O по времени: M → = d L → d t {displaystyle {vec {M}}={frac {d{vec {L}}}{dt}}} ,Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси: M ∥ = d L ∥ d t {displaystyle M_{parallel }={frac {dL_{parallel }}{dt}}} .Если момент силы M → {displaystyle {vec {M}}} или M ∥ {displaystyle M_{parallel }} равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется. С мощностьюЕсли сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность F → ⋅ v → {displaystyle {vec {F}}cdot {vec {v}}} (где v → {displaystyle {vec {v}}} — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность P = M → ⋅ ω → {displaystyle P={vec {M}}cdot {vec {omega }}} .В системе СИ мощность P {displaystyle P} измеряется в ваттах, угловая скорость ω → {displaystyle {vec {omega }}} — в радианах в секунду. С механической работойЕсли под действием момента силы M → {displaystyle {vec {M}}} происходит поворот тела на угол d φ {displaystyle dvarphi } , то совершается механическая работа d A = | M → | d φ {displaystyle dA=left|{vec {M}} ight|dvarphi } .Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол φ 2 − φ 1 {displaystyle varphi _{2}-varphi _{1}} получим A = ∫ φ 1 φ 2 | M → | d φ = | M → | ( φ 2 − φ 1 ) = | M → | ∫ t 1 t 2 ω ( t ) d t {displaystyle A=int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}left|{vec {M}} ight|dvarphi =left|{vec {M}} ight|(varphi _{2}-varphi _{1})=left|{vec {M}} ight|int _{t_{1}}^{t_{2}}omega (t)dt} .В системе СИ работа A {displaystyle A} измеряется в джоулях, угол — в радианах. Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон на метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию 2 π {displaystyle 2pi } джоуля. Измерение момента силыИзмерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими. Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др. Из истории понятияДля того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы F → {displaystyle {vec {F}}} на рычаг r → {displaystyle {vec {r}}} , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений. Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок d l {displaystyle dl} , которому соответствует бесконечно малый угол d φ {displaystyle dvarphi } . Обозначим через d l → {displaystyle d{vec {l}}} вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка d l {displaystyle dl} и равен ему по модулю. Угол между векторами F → {displaystyle {vec {F}}} и d l → {displaystyle d{vec {l}}} равен β {displaystyle eta } , а угол между векторами r → {displaystyle {vec {r}}} и F → {displaystyle {vec {F}}} равен α {displaystyle alpha } . Следовательно, бесконечно малая работа d A {displaystyle dA} , совершаемая силой F → {displaystyle {vec {F}}} на бесконечно малом участке d l {displaystyle dl} , равна скалярному произведению вектора d l → {displaystyle d{vec {l}}} и вектора силы, то есть d A = F → ⋅ d l → {displaystyle dA={vec {F}}cdot d{vec {l}}} . Теперь попытаемся выразить модуль вектора d l → {displaystyle d{vec {l}}} через радиус-вектор r → {displaystyle {vec {r}}} , а проекцию вектора силы F → {displaystyle {vec {F}}} на вектор d l → {displaystyle d{vec {l}}} — через угол α {displaystyle alpha } . Так как для бесконечно малого перемещения рычага d l {displaystyle dl} можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу r → {displaystyle {vec {r}}} , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: d l = r t g d φ {displaystyle dl=rmathrm {tg} ,dvarphi } , где в случае малого угла справедливо t g d φ = d φ {displaystyle mathrm {tg} ,dvarphi =dvarphi } и, следовательно, | d l → | = | r → | d φ {displaystyle left|d{vec {l}} ight|=left|{vec {r}} ight|dvarphi } . Для проекции вектора силы F → {displaystyle {vec {F}}} на вектор d l → {displaystyle d{vec {l}}} видно, что угол β = π 2 − α {displaystyle eta ={frac {pi }{2}}-alpha } , а так как cos ( π 2 − α ) = sin α {displaystyle cos {left({frac {pi }{2}}-alpha ight)}=sin alpha } , получаем, что | F → | cos β = | F → | sin α {displaystyle left|{vec {F}} ight|cos eta =left|{vec {F}} ight|sin alpha } . Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: d A = | r → | d φ | F → | sin α {displaystyle dA=left|{vec {r}} ight|dvarphi left|{vec {F}} ight|sin alpha } , или d A = | r → | | F → | sin α d φ {displaystyle dA=left|{vec {r}} ight|left|{vec {F}} ight|sin alpha ,dvarphi } . Видно, что произведение | r → | | F → | sin α {displaystyle left|{vec {r}} ight|left|{vec {F}} ight|sin alpha } есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов r → {displaystyle {vec {r}}} и F → {displaystyle {vec {F}}} , то есть | r → × F → | {displaystyle left|{vec {r}} imes {vec {F}} ight|} , которое и было принято обозначить за момент силы M {displaystyle M} , или модуль вектора момента силы | M → | {displaystyle left|{vec {M}} ight|} . Теперь полная работа записывается просто: A = ∫ 0 φ | r → × F → | d φ {displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {r}} imes {vec {F}} ight|dvarphi } , или A = ∫ 0 φ | M → | d φ {displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {M}} ight|dvarphi } . |
