Специальная унитарная группа
Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером n × n {displaystyle n imes n} обозначается S U ( n ) {displaystyle mathrm {SU} (n)} . Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы U ( n ) {displaystyle mathrm {U} (n)} , состоящей из всех унитарных матриц n × n {displaystyle n imes n} . ГенераторыS U ( 2 ) {displaystyle mathrm {SU} (2)}Для группы S U ( 2 ) {displaystyle mathrm {SU} (2)} генераторы известны как матрицы Паули: S U ( 3 ) {displaystyle mathrm {SU} (3)}Аналогом матриц Паули для S U ( 3 ) {displaystyle mathrm {SU} (3)} служат матрицы Гелл-Манна: Генераторы для S U ( 3 ) {displaystyle mathrm {SU} (3)} определяются как T {displaystyle T} с использованием соотношения: T a = λ a 2 {displaystyle T_{a}={frac {lambda _{a}}{2}}} .Они подчиняются следующим соотношениям:
S U ( 4 ) {displaystyle mathrm {SU} (4)}Эрмитовы матрицы генераторы для S U ( 4 ) {displaystyle mathrm {SU} (4)} , аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид: Эти матрицы ортогональны, а также удоволетворяют выражению для следа: T r ( λ k 2 ) = 2 ; k = 1..15 {displaystyle Tr{(lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15}и тождеству Якоби: [ [ λ l , λ k ] , λ j ] + [ [ λ k , λ j ] , λ l ] + [ [ λ j , λ l ] , λ k ] = 0 ; j < k < l ; j , k , l = 1..15 {displaystyle [[lambda _{l},lambda _{k}],lambda _{j}]+[[lambda _{k},lambda _{j}],lambda _{l}]+[[lambda _{j},lambda _{l}],lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15}При этом коммутатор вычисляется как: [ λ j , λ k ] = 2 i ∑ m f j k l λ l {displaystyle [lambda _{j},lambda _{k}]=2isum _{m}f_{jkl}lambda _{l}}Таблица структурных констант f j k l {displaystyle f_{jkl}} f 1 , 2 , 3 = 1 {displaystyle f_{1,2,3}=1} f 1 , 4 , 7 = f 2 , 4 , 6 = f 2 , 5 , 7 = f 3 , 4 , 5 = f 1 , 9 , 12 = f 2 , 9 , 11 = f 2 , 10 , 12 = f 3 , 9 , 10 = f 4 , 9 , 14 = f 5 , 10 , 14 = f 6 , 11 , 14 = f 7 , 11 , 13 = f 7 , 12 , 14 = 1 2 {displaystyle f_{1,4,7}=f_{2,4,6}=f_{2,5,7}=f_{3,4,5}=f_{1,9,12}=f_{2,9,11}=f_{2,10,12}=f_{3,9,10}=f_{4,9,14}=f_{5,10,14}=f_{6,11,14}=f_{7,11,13}=f_{7,12,14}={frac {1}{2}}} f 1 , 5 , 6 = f 3 , 6 , 7 = f 1 , 10 , 11 = f 3 , 11 , 12 = f 4 , 10 , 13 = f 6 , 12 , 13 = − 1 2 {displaystyle f_{1,5,6}=f_{3,6,7}=f_{1,10,11}=f_{3,11,12}=f_{4,10,13}=f_{6,12,13}=-{frac {1}{2}}} f 4 , 5 , 8 = f 6 , 7 , 8 = f 8 , 9 , 10 = f 8 , 11 , 12 = f 9 , 10 , 15 = f 11 , 12 , 15 = f 13 , 14 , 15 = 3 2 {displaystyle f_{4,5,8}=f_{6,7,8}=f_{8,9,10}=f_{8,11,12}=f_{9,10,15}=f_{11,12,15}=f_{13,14,15}={frac {sqrt {3}}{2}}} f 8 , 13 , 14 = − 3 2 {displaystyle f_{8,13,14}=-{frac {sqrt {3}}{2}}} |