Валюация

Валюация — обобщение понятия меры обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

Определение

Пусть K n {displaystyle K^{n}} — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Валюация на K n {displaystyle K^{n}} есть функция v : K n → R {displaystyle v:K^{n} o mathbb {R} } такая, что равенство

выполняется для любых S , T ∈ K n {displaystyle S,Tin K^{n}} таких, что S ∪ T ∈ K n {displaystyle Scup Tin K^{n}} ,

Замечания

• Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
• Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого S ∈ K n {displaystyle Sin K^{n}} выполняется v ( S ) = v ( ϕ ( S ) ) {displaystyle v(S)=v(phi (S))}

Примеры

k {displaystyle k} -ая средняя поредняя поперечная мера W k ( S ) {displaystyle W_{k}(S)} тела S ∈ K n {displaystyle Sin K^{n}} определяется как средняя k {displaystyle k} -мерная площадь проекций S {displaystyle S} на k {displaystyle k} -мерные плоскости.

В частности,

• W n ( S ) {displaystyle W_{n}(S)} — объём S {displaystyle S} ,
• W n − 1 ( S ) {displaystyle W_{n-1}(S)} — пропорциональна площади поверхности S {displaystyle S} .
• W k ( λ ⋅ S ) = | λ | k ⋅ W k ( S ) {displaystyle W_{k}(lambda cdot S)=|lambda |^{k}cdot W_{k}(S)}

Валюация Дирака δ x {displaystyle delta _{x}} точки x {displaystyle x} определяется как

Свойства

• Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер.
• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и S L ( n , Z ) {displaystyle mathrm {SL} (n,mathbb {Z} )} , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.