Тангенциальное ускорение
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение



Тангенциальное ускорение — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: a τ     {displaystyle mathbf {a} _{ au } } или a t     {displaystyle mathbf {a} _{t} } , w τ     {displaystyle mathbf {w} _{ au } } , u τ     {displaystyle mathbf {u} _{ au } } и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная — a τ     {displaystyle a_{ au } } , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Формула

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

a τ = d v d t = d | v → | d t , {displaystyle a_{ au }={frac {dv}{dt}}={frac {dvert {vec {v}}vert }{dt}},}

где v   = d l / d t {displaystyle v =dl/dt} — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение e τ   {displaystyle mathbf {e} _{ au } } , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

a τ = d v d t e τ . {displaystyle mathbf {a} _{ au }={frac {dv}{dt}}mathbf {e} _{ au }.}

Типовые задачи

Задача 1

Пусть координата тела зависит от времени по следующему закону: r → = sin ⁡ ( w t ) i → + cos ⁡ ( w t ) j → , {displaystyle {vec {r}}=sin(wt){vec {i}}+cos(wt){vec {j}},} где i → , j → {displaystyle {vec {i}},{vec {j}}} - единичные вектора в декартовых координатах. Найти тангенциальное ускорение тела.


Решение 1

Найдём тангенциальное ускорение по определению: a τ = d v d t = d | v → | d t = d sin 2 ⁡ ( w t ) + cos 2 ⁡ ( w t ) d t = d 1 d t = 0 {displaystyle a_{ au }={frac {dv}{dt}}={frac {dvert {vec {v}}vert }{dt}}={frac {d{sqrt {sin ^{2}(wt)+cos ^{2}(wt)}}}{dt}}={frac {d1}{dt}}=0}

Решение 2

Найдём траекторию тела: { x = sin ⁡ ( w t ) y = cos ⁡ ( w t ) z = 0 ⇒ x 2 + y 2 = cos 2 ⁡ ( w t ) + sin 2 ⁡ ( w t ) = 1. {displaystyle {egin{cases}x=sin(wt)y=cos(wt)z=0end{cases}}Rightarrow x^{2}+y^{2}=cos ^{2}(wt)+sin ^{2}(wt)=1.} Это значит, что траектория тела - окружность с радиусом 1. Данная траектория и уравнение движения говорят о том, что величина скорости тела постоянна, следовательно тангенциальное ускорение отсутствует из-за того , что тело движется по окружности .


Вывод

Вывод 1

В большинстве случаев ускорение направлено под некоторым углом к скорости. Составляющую ускорения, которая направлена вдоль скорости, называют тангенциальным ускорением. Тангенциальное ускорение описывает быстроту изменения скорости по модулю:


Вывод 2

Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  • изменения направления вектора v   {displaystyle mathbf {v} } дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по d t   {displaystyle dt } , которой можно поэтому пренебречь.
  • изменение длины вектора v   {displaystyle mathbf {v} } будет отличаться от проекции изменения v   {displaystyle mathbf {v} } на касательную тоже на величину не ниже второго порядка.

То и другое следует из того, что угол вектора v   {displaystyle mathbf {v} } к касательной будет не ниже первого порядка по d t   {displaystyle dt } . Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция v   {displaystyle mathbf {v} } на касательную при малых d t   {displaystyle dt } будет практически совпадать с длиной вектора v   {displaystyle mathbf {v} } , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых d t   {displaystyle dt } всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице .

Замечания

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.


Добавлено Admin 18-12-2020, 23:30 Просмотров: 30
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent