Предпорядок

Предпорядок — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается ⩽ , {displaystyle leqslant ,} тогда аксиомы предпорядка на множестве M {displaystyle M} принимают вид:

Теория категорий

В теории категорий с понятием предпорядка связывают обычно две категории: категорию предпорядков и категории, называемые предпорядками.

Предпорядки

Категория P {displaystyle {mathcal {P}}} называется предпорядком, если для любых двух объектов a , b ∈ O b P {displaystyle a,bin Ob{mathcal {P}}} существует не более одного морфизма f : a → b . {displaystyle fcolon a o b.} Если P {displaystyle {mathcal {P}}} — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — это абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру.

• Предпорядок — это скелетная категория.
• Если малая категория C {displaystyle {mathcal {C}}} полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань.
• Произведение набора (множества, класса и т. п.) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань.
• Начальный объект 0 {displaystyle 0} в предпорядке P {displaystyle {mathcal {P}}} , если он существует, — это его наименьший объект, так что ∀ a ∈ P : 0 ⩽ a {displaystyle forall ain {mathcal {P}}colon 0leqslant a} . Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

Категория предпорядков

Категория предпорядков обозначается обычно P r e o r d . {displaystyle mathbf {Preord} .} Объектами категории предпорядков являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Рассмотрим в P r e o r d {displaystyle mathbf {Preord} } подкатегорию малых предпорядков P r e o r d S {displaystyle mathbf {Preord} _{S}} . Это конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором

сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в P r e o r d . {displaystyle mathbf {Preord} .} Таким образом, аналогично S e t {displaystyle mathbf {Set} } , начальным объектом в P r e o r d {displaystyle mathbf {Preord} } является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.

Связанные определения

Линейный предпорядок — это предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы: