Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением элемента a i j {displaystyle a_{ij}} матрицы A {displaystyle A} называется число A i j = ( − 1 ) i + j M i j {displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}} ,где M i j {displaystyle M_{ij}} — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A {displaystyle A} путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца. СвойстваАлгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой: Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы A {displaystyle A} может быть представлен в виде суммы det A = ∑ j = 1 n a i j A i j = ∑ i = 1 n a i j A i j {displaystyle det A=sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение: Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть ∑ j = 1 n a i 1 j A i 2 j = ∑ i = 1 n a i j 1 A i j 2 = 0 {displaystyle sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0} при i 1 ≠ i 2 {displaystyle i_{1} eq i_{2}} и j 1 ≠ j 2 {displaystyle j_{1} eq j_{2}} . Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:
|