Войти  |  Регистрация
Авторизация

Алгебраическое дополнение



Алгебраическим дополнением элемента   a i j {displaystyle a_{ij}} матрицы   A {displaystyle A} называется число

  A i j = ( − 1 ) i + j M i j {displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}} ,

где   M i j {displaystyle M_{ij}} — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   A {displaystyle A} путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы A {displaystyle A} может быть представлен в виде суммы

det A = ∑ j = 1 n a i j A i j = ∑ i = 1 n a i j A i j {displaystyle det A=sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть   ∑ j = 1 n a i 1 j A i 2 j = ∑ i = 1 n a i j 1 A i j 2 = 0 {displaystyle sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0} при i 1 ≠ i 2 {displaystyle i_{1} eq i_{2}} и j 1 ≠ j 2 {displaystyle j_{1} eq j_{2}} .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

  • заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
  • транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
  • разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent