Факториальное кольцо
Факториальное кольцо — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса. ОпределениеБолее формально, факториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов pi и обратимого элемента u: x = u p1 p2 ⋯ pnи это разложение единственно в следующем смысле: Если q1, … , qm — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что x = w q1 q2 ⋯ qm ,то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что pi — элемент, ассоциированный с qφ(i) для i ∈ {1, … , n}. Примеры
Эквивалентные формулировкиПусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:
Свойства факториальных колец1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов. 2. Лемма о совместной делимости. Если элемент N {displaystyle N} факториального кольца делится на каждый из элементов a 1 {displaystyle a_{1}} , a 2 {displaystyle a_{2}} , … , a k {displaystyle a_{k}} , причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда N {displaystyle N} делится на их произведение. 3. Если N n = a 1 a 2 … a k {displaystyle N^{n}=a_{1}a_{2}dots a_{k}} , причём элементы a 1 , a 2 , . . . , a k {displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{k}} попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид a i = u i b i n {displaystyle a_{i}=u_{i}b_{i}^{n}} , где u i {displaystyle u_{i}} — обратимые элементы кольца. 4. Любую дробь a / b {displaystyle a/b} , составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы p {displaystyle p} и q {displaystyle q} (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что a / b = p / q {displaystyle a/b=p/q} . 5. Теорема Гаусса. Если дробь a / b {displaystyle a/b} является корнем многочлена x n + c 1 x n − 1 + ⋯ + c n {displaystyle x^{n}+c_{1}x^{n-1}+dots +c_{n}} со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы a , b {displaystyle a,b} , а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца R {displaystyle R} ), тогда a / b {displaystyle a/b} лежит в R {displaystyle R} , то есть a {displaystyle a} делится на b {displaystyle b} в кольце R {displaystyle R} . (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью). |