Войти  |  Регистрация
Авторизация

Диада



Диада — это специальный тензор второго ранга, внешнее произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

  A i j = a i b j , {displaystyle A_{ij}=a_{i}b_{j},}

В бескоординатной форме

A = a ⊗ b {displaystyle mathbf {A} =mathbf {a} otimes mathbf {b} } , либо просто a b {displaystyle mathbf {ab} }

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

[ 0 … a 1 … 0 0 … a 2 … 0 … … … … … 0 … a n … 0 ] = [ a 1 a 2 … a n ] ⊗ [ 0 … 1 … 0 ] {displaystyle {egin{bmatrix}0&dots &a_{1}&dots &0&dots &a_{2}&dots &0dots &dots &dots &dots &dots &dots &a_{n}&dots &0end{bmatrix}}={egin{bmatrix}a_{1}a_{2}dots a_{n}end{bmatrix}}otimes {egin{bmatrix}0&dots &1&dots &0end{bmatrix}}}

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады

Например, рассмотрим пару векторов

A = a i + b j {displaystyle mathbf {A} =amathbf {i} +bmathbf {j} }

и

B = c i + d j . {displaystyle mathbf {B} =cmathbf {i} +dmathbf {j} .}

Тогда тензорное произведение A и B равно

A ⊗ B = a c i ⊗ i + a d i ⊗ j + b c j ⊗ i + b d j ⊗ j {displaystyle mathbf {Aotimes B} =acmathbf {iotimes i} +admathbf {iotimes j} +bcmathbf {jotimes i} +bdmathbf {jotimes j} } .

Оператор вращения

Двухвалентный тензор

j ⊗ i − i ⊗ j {displaystyle mathbf {jotimes i} -mathbf {iotimes j} } -

это оператор вращения плоскости на 90°(против часовой стрелки). Он действует слева от вектора и производит вращение:

( j ⊗ i − i ⊗ j ) ⋅ ( x i + y j ) = x j ( i ⋅ i ) − x i ( j ⋅ i ) + y j ( i ⋅ j ) − y i ( j ⋅ j ) = − y i + x j . {displaystyle (mathbf {jotimes i} -mathbf {iotimes j} )cdot (xmathbf {i} +ymathbf {j} )=xmathbf {j(i} cdot mathbf {i)} -xmathbf {i(j} cdot mathbf {i)} +ymathbf {j(i} cdot mathbf {j)} -ymathbf {i(j} cdot mathbf {j)} =-ymathbf {i} +xmathbf {j} .}

Использование диад

В физике

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.


Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent