Войти  |  Регистрация
Авторизация

Lp (пространство)



L p {displaystyle L^{p}} (также встречается обозначение L p {displaystyle L_{p}} ; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их p {displaystyle p} -я степень интегрируема, где p ⩾ 1 {displaystyle pgeqslant 1} .

L p {displaystyle L^{p}} — важнейший класс банаховых пространств. L 2 {displaystyle L^{2}} (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение

Для построения пространств L p {displaystyle L^{p}} используются L p {displaystyle {mathcal {L}}^{p}} -пространства. Пространство L p ( X , F , μ ) {displaystyle {mathcal {L}}^{p}(X,;{mathcal {F}},;mu )} для пространства с мерой ( X , F , μ ) {displaystyle (X,;{mathcal {F}},;mu )} и 1 ⩽ p < ∞ {displaystyle 1leqslant p<infty } — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

∫ X | f ( x ) | p μ ( d x ) < ∞ {displaystyle int limits _{X}|f(x)|^{p},mu (dx)<infty } .

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство L p ( X , F , μ ) {displaystyle {mathcal {L}}^{p}(X,;{mathcal {F}},;mu )} линейно.

На линейном пространстве L p ( X , F , μ ) {displaystyle {mathcal {L}}^{p}(X,;{mathcal {F}},;mu )} вводится полунорма:

‖ f ‖ p = ( ∫ X | f ( x ) | p μ ( d x ) ) 1 p {displaystyle |f|_{p}=left(int limits _{X}|f(x)|^{p},mu (dx) ight)^{frac {1}{p}}} .

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы

Далее, на L p {displaystyle {mathcal {L}}^{p}} вводится отношение эквивалентности: f ∼ g {displaystyle fsim g} , если f ( x ) = g ( x ) {displaystyle f(x)=g(x)} почти всюду. Это отношение разбивает пространство L p {displaystyle {mathcal {L}}^{p}} на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) L p / ∼ {displaystyle {mathcal {L}}^{p}/sim } можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство ( L p / ∼ , ‖ ⋅ ‖ p ) {displaystyle left({mathcal {L}}^{p}/!sim ,;|cdot |_{p} ight)} с построенной на нём нормой, и называется пространством L p ( X , F , μ ) {displaystyle L^{p}(X,;{mathcal {F}},;mu )} или просто L p {displaystyle L^{p}} .

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами L p {displaystyle L^{p}} называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При 0 < p < 1 {displaystyle 0<p<1} L p {displaystyle L^{p}} не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота

Норма на L p {displaystyle L^{p}} вместе с линейной структурой порождает метрику:

d ( f , g ) = ‖ f − g ‖ p {displaystyle d(f,;g)=|f-g|_{p}} ,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций { f n } n = 1 ∞ ⊂ L p {displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }subset L^{p}} называют сходящейся к функции f ∈ L p {displaystyle fin L^{p}} , если:

‖ f n − f ‖ p → 0 {displaystyle |f_{n}-f|_{p} o 0} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .

Согласно теореме Риса — Фишера, пространство L p {displaystyle L^{p}} полно, то есть любая фундаментальная последовательность в L p {displaystyle L^{p}} сходится к элементу этого же пространства. Таким образом L p {displaystyle L^{p}} — банахово пространство.

Пространство L²

В случае p = 2 {displaystyle p=2} норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве L 2 {displaystyle L^{2}} вводится следующим образом:

⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( x ) g ( x ) ¯ μ ( d x ) {displaystyle langle f,;g angle =int limits _{X}f(x),{overline {g(x)}},mu (dx)} ,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( x ) g ( x ) μ ( d x ) {displaystyle langle f,;g angle =int limits _{X}f(x),{g(x)},mu (dx)} ,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

‖ f ‖ 2 = ⟨ f , f ⟩ {displaystyle |f|_{2}={sqrt {langle f,;f angle }}} ,

то есть норма порождается скалярным произведением. В виду полноты любого L p {displaystyle L^{p}} следует, что L 2 {displaystyle L^{2}} — гильбертово.

Пространство L

Пространство L ∞ {displaystyle L^{infty }} строится из пространства L ∞ ( X , F , μ ) {displaystyle {mathcal {L}}^{infty }(X,;{mathcal {F}},;mu )} измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

‖ f ‖ ∞ = e s s sup x ∈ X | f ( x ) | {displaystyle |f|_{infty }=mathrm {ess} sup limits _{xin X}|f(x)|} , где e s s sup {displaystyle mathrm {ess} sup } — существенный супремум функции.

L ∞ {displaystyle L^{infty }} — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой ‖ ⋅ ‖ ∞ {displaystyle |cdot |_{infty }} , называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

f n → f {displaystyle f_{n} o f} в L ∞ {displaystyle L^{infty }} , если e s s sup x ∈ X | f n ( x ) − f ( x ) | → 0 {displaystyle mathrm {ess} sup limits _{xin X}|f_{n}(x)-f(x)| o 0} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .

Свойства

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве L p {displaystyle L^{p}} . Пусть f n ( x ) = n 1 / p {displaystyle f_{n}(x)=n^{1/p}} при x ∈ ( 0 , 1 / n ] {displaystyle xin (0,1/n]} и f n ( x ) = 0 {displaystyle f_{n}(x)=0} при x ∈ ( 1 / n , 1 ] {displaystyle xin (1/n,1]} , f n ∈ L p {displaystyle f_{n}in L^{p}} . Тогда f n → 0 {displaystyle f_{n} o 0} почти всюду. Но ‖ f n ‖ p p = ∫ 0 1 | f n | p d μ = 1 {displaystyle |f_{n}|_{p}^{p}=int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}dmu =1} . Обратное также неверно.
  • Если ‖ f n − f ‖ p → 0 {displaystyle |f_{n}-f|_{p} o 0} при n → ∞ {displaystyle n o infty } , то существует подпоследовательность f n k {displaystyle f_{n_{k}}} , такая что f n k → f {displaystyle f_{n_{k}} o f} почти всюду.
  • L p {displaystyle L^{p}} функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть L C ∞ p ( R , B ( R ) , m ) {displaystyle L_{C^{infty }}^{p}(mathbb {R} ,;{mathcal {B}}(mathbb {R} ),;m)} — подмножество L p ( R , B ( R ) , m ) {displaystyle L^{p}(mathbb {R} ,;{mathcal {B}}(mathbb {R} ),;m)} , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда L C ∞ p {displaystyle L_{C^{infty }}^{p}} всюду плотно в L p {displaystyle L^{p}} .
  • L p ( R , B ( R ) , m ) {displaystyle L^{p}(mathbb {R} ,;{mathcal {B}}(mathbb {R} ),;m)} — сепарабельно при p < ∞ {displaystyle p<infty } .
  • Если μ {displaystyle mu } — конечная мера, например, вероятность, и 1 ⩽ p ⩽ q ⩽ ∞ {displaystyle 1leqslant pleqslant qleqslant infty } , то L q ⊂ L p {displaystyle L^{q}subset L^{p}} . В частности, L 2 ⊂ L 1 {displaystyle L^{2}subset L^{1}} , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства

Для пространств ( L p ) ⋆ {displaystyle left(L^{p} ight)^{star }} , сопряжённое к L p {displaystyle L^{p}} (пространств линейных функционалов на L p {displaystyle L^{p}} ) имеет место следующее свойство: если 1 < p < ∞ {displaystyle 1<p<infty } , то ( L p ) ⋆ {displaystyle left(L^{p} ight)^{star }} изоморфно L q {displaystyle L^{q}} ( ( L p ) ⋆ ≅ L q {displaystyle left(L^{p} ight)^{star }cong L^{q}} ), где 1 / p + 1 / q = 1 {displaystyle 1/p+1/q=1} . Любой линейный функционал на L p {displaystyle L^{p}} имеет вид:

g ( f ) = ∫ X f ( x ) g ~ ( x ) μ ( d x ) , {displaystyle g(f)=int limits _{X}f(x),{ ilde {g}}(x),mu (dx),}

где g ~ ( x ) ∈ L q {displaystyle { ilde {g}}(x)in L^{q}} .

В силу симметрии уравнения 1 / p + 1 / q = 1 {displaystyle 1/p+1/q=1} , само пространство L p {displaystyle L^{p}} дуально (с точностью до изоморфизма) к L q {displaystyle L^{q}} , а следовательно:

( L p ) ⋆ ⋆ ≅ L p . {displaystyle left(L^{p} ight)^{star star }cong L^{p}.}

Этот результат справедлив и для случая p = 1 {displaystyle p=1} , то есть ( L 1 ) ⋆ = L ∞ {displaystyle left(L^{1} ight)^{star }=L^{infty }} . Однако ( L ∞ ) ⋆ ≇ L 1 {displaystyle left(L^{infty } ight)^{star } ot cong L^{1}} и, в частности, ( L 1 ) ⋆ ⋆ ≇ L 1 {displaystyle left(L^{1} ight)^{star star } ot cong L^{1}} .

Пространства ℓp

Пусть ( X , F , μ ) = ( N , 2 N , m ) {displaystyle (X,;{mathcal {F}},;mu )=left(mathbb {N} ,;2^{mathbb {N} },;m ight)} , где m {displaystyle m} — счётная мера на N {displaystyle mathbb {N} } , то есть m ( { n } ) = 1 , ∀ n ∈ N {displaystyle m({n})=1,;forall nin mathbb {N} } . Тогда если p < ∞ {displaystyle p<infty } , то пространство ℓ p ( N , 2 N , m ) {displaystyle ell ^{p}left(mathbb {N} ,;2^{mathbb {N} },;m ight)} представляет собой семейство последовательностей вида { x n } n = 1 ∞ {displaystyle {x_{n}}_{n=1}^{infty }} , таких что:

∑ n = 1 ∞ | x n | p < ∞ {displaystyle sum _{n=1}^{infty }|x_{n}|^{p}<infty } .

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

‖ x ‖ p = ( ∑ n = 1 ∞ | x n | p ) 1 p {displaystyle |x|_{p}=left(sum limits _{n=1}^{infty }|x_{n}|^{p} ight)^{frac {1}{p}}} .

Получившееся нормированное пространство обозначается ℓ p {displaystyle ell ^{p}} .

Если p = ∞ {displaystyle p=infty } , то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

‖ x ‖ ∞ = sup n ∈ N | x n | {displaystyle |x|_{infty }=sup limits _{nin mathbb {N} }|x_{n}|} .

Получившееся пространство называется ℓ ∞ {displaystyle ell ^{infty }} , оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив p = 2 {displaystyle p=2} , получается гильбертово пространство ℓ 2 {displaystyle ell ^{2}} , чья норма порождена скалярным произведением:

⟨ x , y ⟩ = ∑ n = 1 ∞ x n y n ¯ {displaystyle langle x,;y angle =sum _{n=1}^{infty }x_{n}{overline {y_{n}}}} ,

если последовательности комплекснозначные, и:

⟨ x , y ⟩ = ∑ n = 1 ∞ x n y n , {displaystyle langle x,;y angle =sum _{n=1}^{infty }x_{n}{y_{n}},}

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с ℓ p {displaystyle ell ^{p}} , где 1 < p < ∞ {displaystyle 1<p<infty } изоморфно ℓ q {displaystyle ell ^{q}} , 1 / p + 1 / q = 1 {displaystyle 1/p+1/q=1} . Для p = 1 : ( ℓ 1 ) ⋆ = ℓ ∞ {displaystyle p=1:left(ell ^{1} ight)^{star }=ell ^{infty }} . Однако ( ℓ ∞ ) ⋆ ≇ ℓ 1 {displaystyle left(ell ^{infty } ight)^{star } ot cong ell ^{1}} .


Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent