В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования. Обозначения В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом: ∫ Ω x f ( x ) d x = ∑ i = 1 m g w i ~ f ( x i ) = ∑ i = 1 m g w i d e t ( J ( ξ i ) ) f ( x ( ξ i ) ) {displaystyle int limits _{Omega _{x}}f(x)dx=sum _{i=1}^{m_{g}}{{widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}mathrm {det} (J(xi _{i}))f(x(xi _{i}))}} , - f ( x ) {displaystyle f(x)} — интегрируемая функция;
- w i {displaystyle w_{i}} — веса интегрирования;
- ξ {displaystyle xi } — система координат мастер-элемента;
- J ( ξ ) = ∂ ( x 1 , … , x n ) ∂ ( ξ 1 , … ξ n ) {displaystyle J(xi )={frac {partial (x_{1},dots ,x_{n})}{partial (xi _{1},dots xi _{n})}}} — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.
В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования Ω {displaystyle Omega } будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент. В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные x , y , z {displaystyle x,y,z} , для обозначения координат мастер-элемента — ξ , η , ζ {displaystyle xi ,eta ,zeta } . Одномерный интеграл Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку. - Область интегрирования: отрезок [ x 0 , x 1 ] {displaystyle [x_{0},x_{1}]} ;
- Мастер-элемент: отрезок [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1]} ;
- Переход на мастер-элемент: ξ ( x ) = 2 x − x 0 x 1 − x 0 − 1 {displaystyle xi (x)=2{frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1} ;
- Переход с мастер-элемента: x ( ξ ) = ( x 1 − x 0 ) ( ξ + 1 ) 2 + x 0 {displaystyle x(xi )={frac {(x_{1}-x_{0})(xi +1)}{2}}+x_{0}} ;
- Якобиан: d e t ( J ( ξ ) ) = x 1 − x 0 2 {displaystyle mathrm {det} (J(xi ))={frac {x_{1}-x_{0}}{2}}} .
Двухмерный интеграл Квадратный мастер-элемент - Область интегрирования: прямоугольник [ x 0 , x 1 ] × [ y 0 , y 1 ] {displaystyle [x_{0},x_{1}] imes [y_{0},y_{1}]}
- Мастер-элемент: квадрат [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1] imes [-1,1]}
- Переход на мастер-элемент:
ξ ( x , y ) = 2 x − x 0 x 1 − x 0 − 1 {displaystyle xi (x,y)=2{frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1} η ( x , y ) = 2 y − y 0 y 1 − y 0 − 1 {displaystyle eta (x,y)=2{frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1} ; - Переход с мастер-элемента:
x ( ξ , η ) = ( x 1 − x 0 ) ( ξ + 1 ) 2 + x 0 {displaystyle x(xi ,eta )={frac {(x_{1}-x_{0})(xi +1)}{2}}+x_{0}} y ( ξ , η ) = ( y 1 − y 0 ) ( η + 1 ) 2 + y 0 {displaystyle y(xi ,eta )={frac {(y_{1}-y_{0})(eta +1)}{2}}+y_{0}} ; - Якобиан: d e t ( J ( ξ , η ) ) = ( x 1 − x 0 ) ( y 1 − y 0 ) 4 {displaystyle mathrm {det} (J(xi ,eta ))={frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}} .
Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2. Треугольный мастер-элемент - Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) {displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})} ;
- Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) {displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)} .
Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их λ 1 , λ 2 , λ 3 {displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}} . λ i ( x , y ) = α i 1 x + α i 2 y + α i 3 {displaystyle lambda _{i}(x,y)=alpha _{i1}x+alpha _{i2}y+alpha _{i3}} Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица D {displaystyle D} : D = ( x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1 1 1 ) {displaystyle D={egin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}y_{1}&y_{2}&y_{3}1&1&1end{pmatrix}}} Матрица коэффициентов обратна к D {displaystyle D} : A = D − 1 {displaystyle mathrm {A} =D^{-1}} . - Переход на мастер элемент:
ξ ( x , y ) = λ 1 ( x , y ) {displaystyle xi (x,y)=lambda _{1}(x,y)} η ( x , y ) = λ 2 ( x , y ) {displaystyle eta (x,y)=lambda _{2}(x,y)} - Переход с мастер элемента:
( x y 1 ) = D ( ξ η 1 − ξ − η ) {displaystyle {egin{pmatrix}xy1end{pmatrix}}=D{egin{pmatrix}xi eta 1-xi -eta end{pmatrix}}} - Якобиан : d e t ( J ( ξ , η ) ) = d e t ( D ) {displaystyle mathrm {det} (J(xi ,eta ))=mathrm {det} (D)} .
Трёхмерный интеграл Кубический мастер-элемент - Область интегрирования: параллелепипед [ x 0 , x 1 ] × [ y 0 , y 1 ] × [ z 0 , z 1 ] {displaystyle [x_{0},x_{1}] imes [y_{0},y_{1}] imes [z_{0},z_{1}]}
- Мастер-элемент: куб [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1] imes [-1,1] imes [-1,1]}
- Переход на мастер-элемент:
ξ ( x , y , z ) = 2 x − x 0 x 1 − x 0 − 1 {displaystyle xi (x,y,z)=2{frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1} η ( x , y , z ) = 2 y − y 0 y 1 − y 0 − 1 {displaystyle eta (x,y,z)=2{frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1} ζ ( x , y , z ) = 2 z − z 0 z 1 − z 0 − 1 {displaystyle zeta (x,y,z)=2{frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1} - Переход с мастер-элемента:
x ( ξ , η , ζ ) = ( x 1 − x 0 ) ( ξ + 1 ) 2 + x 0 {displaystyle x(xi ,eta ,zeta )={frac {(x_{1}-x_{0})(xi +1)}{2}}+x_{0}} y ( ξ , η , ζ ) = ( y 1 − y 0 ) ( η + 1 ) 2 + y 0 {displaystyle y(xi ,eta ,zeta )={frac {(y_{1}-y_{0})(eta +1)}{2}}+y_{0}} ; z ( ξ , η , ζ ) = ( z 1 − z 0 ) ( ζ + 1 ) 2 + z 0 {displaystyle z(xi ,eta ,zeta )={frac {(z_{1}-z_{0})(zeta +1)}{2}}+z_{0}} ; - Якобиан: d e t ( J ( ξ , η , ζ ) ) = ( x 1 − x 0 ) ( y 1 − y 0 ) ( z 1 − z 0 ) 8 {displaystyle mathrm {det} (J(xi ,eta ,zeta ))={frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}} .
Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника[уточнить], но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы. Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно. - Порядок: 7, число точек: 34
Тетраэдральный мастер-элемент - Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами ( x 1 , y 1 , z 1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) , ( x 3 , y 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 , z 4 ) {displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})} .
- Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) {displaystyle (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} .
Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 {displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3},lambda _{4}} : λ i ( x , y , z ) = α i 1 x + α i 2 y + α i 3 z + α i 4 {displaystyle lambda _{i}(x,y,z)=alpha _{i1}x+alpha _{i2}y+alpha _{i3}z+alpha _{i4}} Матрица коэффициентов определяется, как: A = D − 1 {displaystyle mathrm {A} =D^{-1}} , где D = ( x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 z 1 z 2 z 3 z 4 1 1 1 1 ) {displaystyle D={egin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}1&1&1&1end{pmatrix}}} - Переход на мастер-элемент:
ξ ( x , y , z ) = λ 1 ( x , y , z ) {displaystyle xi (x,y,z)=lambda _{1}(x,y,z)} η ( x , y , z ) = λ 2 ( x , y , z ) {displaystyle eta (x,y,z)=lambda _{2}(x,y,z)} ζ ( x , y , z ) = λ 3 ( x , y , z ) {displaystyle zeta (x,y,z)=lambda _{3}(x,y,z)} - Переход с мастер-элемента:
( x y z 1 ) = D ( ξ η ζ 1 − ξ − η − ζ ) {displaystyle {egin{pmatrix}xyz1end{pmatrix}}=D{egin{pmatrix}xi eta zeta 1-xi -eta -zeta end{pmatrix}}} - Якобиан : d e t ( J ( ξ , η , ζ ) ) = d e t ( D ) {displaystyle mathrm {det} (J(xi ,eta ,zeta ))=mathrm {det} (D)} .
|
