Определение нагрузок на поперечные связи сжатых элементов
|
Как говорилось ранее, в соответствии с действующими нормами, поперечные связи, раскрепляющие сжатые элементы (стойки, колонны, сжатые пояса ферм, балок, рам и т.д.) рассчитываются на некоторую условную поперечную силу Qfic, возникающую при сжатии слегка искривленного стержня. Согласно работам, условная поперечная сила Qfic, действующая на поперечные связи сжатых элементов определяется точно также как и поперечная сила, действующая на планки или решетку сжатого сквозного стержня при достижении им предельного состояния. Определению условной поперечной силы Qfic в сжатых сквозных стержнях были посвящены работы Н.С. Стрелецкого и К. Завриева, изложенные в монографии С.А. Ильясевича. Методика определения Qfic, принятая в работах, во многом совпадает с методикой, а их общий смысл заключается в следующем.  Стержень, имеющий начальную деформацию vb, нагружается сжимающей силой N (по оси стержня или с эксцентриситетом) и получает дополнительную поперечную деформацию vu (рис. 2 а). Суммарная поперечная деформация стержня будет равна:  В деформированном стержне действуют продольная сжимающая сила и изгибающий момент, зависящий от величины этой силы и величины поперечной деформации vΣ, т.е. M=vΣ*N. Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 2 б. Совместное действие сжимающей силы и изгибающего момента M вызывает напряжения  Предельной нагрузкой Ncr для сжато-изогнутого стержня считается такая нагрузка, при которой максимальные сжимающие напряжения равны расчетному сопротивлению стали т.е. σΣ=Ry. Величина Q, соответствующая критическому состоянию стержня, определится как  Эпюра поперечных сил Q, соответствующая эпюре изгибающих моментов в сжато-изогнутом стержне представлена на рис. 2 в. По нормам поперечная сила определяется несколько иначе, а именно:  При малом угле sin α = α и тогда  Формула, аналогичная формуле (5 б), применяется и в мостостроении. Принимая синусоидальную форму изгиба стержня и проводя необходимые преобразования, приходим к общей формуле для определения Qfic в виде:  Величина с, полученная по работам в зависимости от гибкости стержня для стали С245 и Д16, представлена в табл. 1.  Из таблицы видно, что для наиболее распространенных в строительстве гибкостей (до 100+120), формула Завриева дает гораздо меньшие значения Qfic, чем действующих нормы. Наибольшие значения Qfic получаются при расчетах по нормам для мостовых конструкций. Как было отмечено С.А. Ильясевичем, «ввиду незначительных затрат на соединительные решетки, следует признать нецелесообразным...» уменьшение поперечной силы Qfic, что вполне справедливо для традиционных строительных и, тем более, для тяжелых мостовых конструкций. Как видно из работ, действующие нормы не делают различий при определение усилий, действующих на соединительные планки (решетки) сквозных стержней и на поперечные связи, раскрепляющие сжатые элементы. Фактически, между этими усилиями существует принципиальное различие.  Во-первых, условная поперечная сила Qfic, определяемая по формулам (1)-(6), является внутренним усилием, возникающим в жестких связях сжатого сквозного стержня и поэтому не может передаваться на внешние связи или опоры, так как при этом нарушаются условия равновесия. Так, например, лук с натянутой тетивой начал бы двигаться в направлении, перпендикулярном тетиве (рис. 3 а). Исключением является, в частности, случай, рассмотренный K. Эйлером, когда на искривленный стержень действует распределенная вдоль него нагрузка (рис. 3 б). В этом случае, между равнодействующей распределенной нагрузки и линией, соединяющей опоры стержня возникает эксцентриситет, приводящий к появлению опрокидывающего момента и соответствующих ему поперечных сил на опорах. Во-вторых, при шарнирных сопряжения поперечных планок, соединяющих отдельные ветви сквозного стержня, никаких поперечных усилий ни в планках, ни в самих стержнях не возникнет (рис. 3 в). То же самое можно сказать и по поводу одиночного сжатого стержня, прикрепленного шарнирными элементами к некоторому связевому блоку. В пособии к нормам указано, что связи, раскрепляющие сжатые элементы следует рассчитывать на действие условных поперечных сил, что оправдано в тех случаях, когда эти поперечные силы относительно малы или когда, в силу действия других факторов, точность их определения не играет существенной роли. В нашем случае, когда поперечные усилия от раскрепляемых поясов рам передаются через подкосы на легкие прогоны, стойки рам и т.д., необходимо более точное определение величины усилий. При недооценке величины этих усилий возможно разрушение конструкций, на которые они передаются; при переоценке — излишние затраты на подкрепляющие конструкции. Для определения фактических поперечных сил, действующих на раскрепляющие связи, рассмотрим две основные схемы: шарнирно опертый стержень, подкрепленный в середине (рис. 4 а) и стержень, защемленный одним концом и шарнирно опертый другим (рис. 4 б). Стержни имеют начальное искривление и загружены сжимающей силой Р.  При сжатии стержни деформируются, что приводит к появлению поперечных усилий на опорах стержней и в раскрепляющих связях. Для шарнирно опертого стержня возможны две формы деформирования: симметричная и кососимметричная. Симметричная форма соответствует случаю защемленного стержня (рис. 4 в и рис. 4 б), а кососимметричная — однопролетного шарнирно-опертого (рис. 4 г).  Поперечные нагрузки, возникающие при сжатии искривленных стержней для обоих основных случаев найдем из условий статики (рис. 5). Для шарнирно-опертого стержня (рис. 5 а)  Для стержня, защемленного с одного конца (рис. 5 б)  В формуле (8) M — изгибающий момент, возникающий в защемленном конце стержня при его нагружении и деформировании. Предельная сжимающая сила Pmax определяется из условия достижения расчетного сопротивления стали в наиболее сжатых фибрах стержня. Величину Pmax для шарнирно опертого стержня определим, рассматривая его деформированную схему (рис. 6).  Уравнение оси ненагруженного стержня примем в соответствии с работами:  уравнение хорды АБ:  Тогда, уравнение оси ненагруженного стержня относительно хорды АБ, запишется как  Максимальную величину ysmax найдем, приравнивая производную (11) по х нулю, т.е.  Деформации нагруженного стержня yPmax определим, используя приближенную формулу:  Предельная сжимающая сила найдется с учетом формул (3) и (14) из уравнения:   Величину у0/l, входящую в формулу (7), представим в виде у0/l = 1/750 +1/20λ и получим окончательное выражение для определения поперечной нагрузки на раскрепляющие связи шарнирно-опертого стержня  Величина α равна: α = P/Pcr, где Pcr = π2*E*J/l2. Силу P найдем как максимальную из условия потери устойчивости стержня по нормам, т. е. P = φ*А*Ry, где φ — коэффициент центрального сжатия. Параметр α будет равен (при J = i2 * А):  Выражение (19) с точностью до 1—2 % может быть заменено приближенной формулой  Как видно из формулы (20), с увеличением гибкости стержня и уменьшением его сечения, максимальное усилие, действующее на раскрепляющие его связи, уменьшается, что можно подтвердить на простом примере. Представим стержень сплошного кольцевого сечения площадью А и длиной 21, раскрепленный посередине поперечной связью. С уменьшением поперечного размера стержня при сохранении площади сечения, его гибкость увеличивается, а максимальная нагрузка, которую он может выдержать снижается. Соответственно будет уменьшаться и реакция H подкрепляющей опоры. Если же определять реакцию промежуточной опоры по нормам как фиктивную поперечную силу (формула 6), то ее величина, наоборот, будет увеличиваться с увеличением гибкости стержня, что противоречит физическому смыслу. В табл. 2 приведены значения реакции Н, определенные по формуле (20) и нормам в зависимости от гибкости X. Как видно, для рассматриваемого случая поперечные силы приблизительно на порядок меньше поперечных сил, определяемых по работе.  Для стержня, защемленного одним концом и шарнирно опертым другим, задача определения поперечной силы несколько сложнее, что связано со статической неопределимостью стержня. Общие деформации сжатого защемленного стержня (рис. 7 а) получим путем суммирования деформаций шарнирно-опертого стержня, загруженного по отдельности продольной силой P (рис. 7 б) и реактивным моментом, действующим в месте защемления (рис. 7 в).  Реактивный момент Mb найдется из условия равенства нулю угла поворота стержня в точке В, т.е.  где φВР — угол поворота стержня в точке от силы Р:  Уравнение оси, относительно хорды AB, стержня, нагруженного одновременно продольной силой и изгибающим моментом, имеет вид  Изгибающие моменты M(x) в деформированном стержне будут равны разнице изгибающих моментов от продольной силы МР(х) и реактивного момента MM(x) (рис. 7 г, д, е)   Обозначая выражение в квадратных скобках и в знаменателе через χ и решая численно уравнение (28), найдем максимальное значение изгибающего момента  В зависимости от величины параметра α, изгибающий момент имеет максимум либо в пролете, либо в заделке. При этом опорный момент может иметь как положительные, так и отрицательные значения (рис. 8). В табл. 3 приведены значения с при разных значениях а. Как видно из таблицы, при α ≤ 0,88 наибольшие моменты действуют в пролете, а при α ≥ 0,88 — на опоре.   Максимальная сила Pmax, которую сможет воспринять стержень, найдется из условия   Как было показано ранее А*y0/W = 1,73(λ/750 + 0,05) и тогда  Максимальное реактивное усилие Hmax, действующее на опоры стержня, найдем по формуле (8) с учетом формулы (24):  Подставляя значения Pmax из формулы (31 б) и, принимая во внимание, что y0/l = 1/150 + 1/20λ, найдем:  Обозначая дробь и выражение в скобках через с2, запишем:  Величина c2 в зависимости от параметра α и гибкости стержня, приведена в табл. 4. Как видно из таблицы, реактивная поперечная нагрузка, возникающая на опорах сжатого защемленного с одного конца стержня, намного (приблизительно в 10 раз) превышает такую же нагрузку для шарнирно-опертого стержня и приближается к нагрузке, определяемой по нормам. В случаях, когда определяется поперечная нагрузка для средней опоры двухпролетного стержня, деформирующегося по симметричной форме (рис. 4 в), ее величину следует удвоить.  |
