Основные зависимости между нагрузкой и параметрами сечений гнутых профилей
Для определения оптимальных статических схем прогонов, рассмотрим основные зависимости между внешними усилиями, действующими на прогоны и параметрами их сечений. Далее будут рассмотрены только прогоны из холодногнутых профилей. Основное внимание уделим относительной эффективности той или иной статической схемы — разрезной и неразрезной; с равными и с различными пролетами. При этом будем учитывать только усилия, действующие в плоскости стенки прогона, считая, что его раскрепление из плоскости изгиба достаточны для обеспечения общей устойчивости. Рассмотрим наиболее распространенные прогоны в виде гнутых швеллеров и Z-профилей (рис. 1). Моменты сопротивления Wx и инерции Jx для этих сечений одинаковы, и поэтому полученные результаты будут относиться к ним одновременно. Влияние отгибов, обеспечивающих местную устойчивость полок и закруглений в месте сопряжения полок и стенки на геометрические характеристики профилей незначительно и для данного анализа может не учитываться. Геометрические характеристики гнутых профилей определим по приближенным формулам: В дальнейшем, геометрические характеристики сечений будем определять при условной единичной толщине (t = 1), что вполне допустимо для тонкостенных сечений. Геометрические характеристики профилей с единичной толщиной обозначим через A1, W1 и J1 соответственно. Определим оптимальное соотношение между высотой сечения и шириной полок профиля при заданной ширине развертки L, исходя из условий максимальной несущей способности при изгибе. Из формулы (1 г), найдем ширину полки Тогда момент сопротивления сечения будет равен Для нахождения максимума W1, найдем производную от (3) по H и, приравнивая ее нулю найдем, что максимальный момент сопротивления для гнутых швеллеров и Z — профилей достигается при Подставляя полученные величины Н и В в формулу (16), найдем Учитывая формулу (6 а), выразим площадь сечения профиля через момент сопротивления Wх. Аналогично найдем параметры сечения, исходя из его максимальной жесткости на изгиб в главной плоскости при Jx → max. Из формулы (1 в) с учетом формулы (2), опуская промежуточные выкладки, получим: Максимум Jx найдем, взяв производную от формулы (9), и приравняем ее нулю: Найдем ширину развертки сечения исходя из его максимальной жесткости Так как A = t*L, выразим площадь сечения профиля через максимальный момент инерции Jmax, т.е. Обобщим полученные результаты: а) Зависимости парам сечения по прочности: 1. Площадь сечения швеллерного или Z-образного гнутого профиля, подобранного из условия максимальной несущей способности, пропорциональна изгибающему моменту в степени 1/2. 2. Оптимальная высота сечения гнутого профиля из условия максимальной несущей способности в плоскости изгиба равна 0,75 L, где L — ширина исходного листа. 3. Увеличение толщины профиля отрицательно сказывается на его экономичности пропорционально степени 1/2. 4. Для определения относительной эффективности той или иной статической схемы прогонов, исходя из их прочности, в качестве относительного критерия можно использовать соотношение расчетных изгибающих моментов или расчетных моментов сопротивления в виде: б) Зависимости парам сечения по жесткости: 1. Площадь сечения гнутого профиля зависит от требуемого момента инерции в степени 1/3. 2. Изменение толщины исходного листа влияет на площадь сечения гнутого профиля в степени 2/3. 3. Оптимальная высота сечения равна 0,8L, что близко к оптимальной высоте сечения, определенной по его максимальной несущей способности (0,75L). 4. Для определения относительной эффективности той или иной статической схемы прогонов исходя из их деформативности, в качестве относительного критерия можно использовать соотношение требуемых моментов инерции в виде Выше были получены оптимальные размеры изгибаемых гнутых профилей, исходя из их максимальной несущей способности (H = 0,75L, В = 0,125L) и жесткости (Н = 0,8L, В = 0,1 L). Однако, при таких соотношения размеров H и B профили будут крайне неустойчивы из плоскости изгиба. Поэтому, на практике, обычно увеличивают ширину полок гнутых профилей с целью увеличения их крутильной жесткости и, следовательно, общей устойчивости из плоскости изгиба. Исследуем то, как влияет отклонение парам сечений от оптимальных на экономичность гнутых профилей. Введем параметр α = HIL. Высота профиля и ширина его полок будут равны Найдем момент сопротивления сечения с учетом формулы (11): В качестве проверки полученного ранее результата, возьмем производную от формулы (19) и, приравняв ее нулю, найдем величину а, при которой момент сопротивления будет максимален откуда α = 0,75, что совпадает с предыдущим результатом. Для определения чувствительности Wx к изменению а исследуем выражение, стоящее в скобках формулы (19), в диапазоне значений α от 0,5 до 1 В табл. 1 приведены абсолютные и относительные значения функции γ(α), a также относительные изменения площади сечения профиля ΔА(%), определяемые в соответствии с формулой (16). Как видно из таблицы, изменение α от 0,5 до 1 приводит к изменению площади сечения всего на 5,4 %. Это позволяет придать сечению форму, оптимальную не только с позиций максимальной несущей способности при изгибе, но и по другим критериям: жесткости при кручении или изгибе из плоскости стенки, не отклоняясь значительно от предельных оптимальных значений, найденных ранее. Изменение изгибной жесткости при изменении α будет еще слабее, так как здесь вступает в силу зависимость в степени 1/3. |