Расчет фланцев с учетом падаливости болтов
При рассмотрении предельного состояния фланцевого соединения, ранее, в качестве упрощающей гипотезы, было принято предположение о жестком защемлении фланцев болтами, т. е. предполагалось, что поворот фланца в зоне болтов не происходит. Фактически, из-за податливости болтов, фланец работает как упруго-защемленная пластина. Для определения влияния податливости болтов, рассмотрим Т-образный фланец в виде полоски, вырезанной, например, поперек полки и нагруженной посередине сосредоточенной силой Pf. Ширина полоски принимается равной расстоянию между болтами вдоль полки. По краям, в зоне болтов, эта полоска стянута с усилием Pbh болтами с другим фланцем. Остальные размеры показаны на рис. 1. Рассмотрим последовательно работу Т-образного фланца. В силу симметрии соединения, будет рассматривать один Т-образный фланец, опирающийся на абсолютно жесткое основание, имитирующее плоскость контакта фланцев. При затяжке болтов до проектного усилия, фланцы деформируются (сжимаются) в поперечном направлении вдоль оси болтов образовывая углубление в зоне головки или гайки болта (показано на рис. 1 а пунктиром). Точка, расположенная на поверхности фланца под головкой болта, при этом перемещается на некоторое расстояние от первоначального положения C1 и занимает положение C2. Контактные усилия между фланцами равны усилиям предварительного натяжения болтов Pbh. После приложения внешнего усилия Pf, полоска прогибается на величину ufl, стремясь повернуться в зоне болтов. Повороту полоски фланца препятствуют рычажные силы VL, возникающие при деформировании фланца и действующие на некотором расстоянии ZL за осями болтов. Болты при этом удлиняются на величину ub, вследствие чего в них появляются дополнительные усилия Nbad. Одновременно, наружная поверхность фланца перемещается из точки C2 вдоль оси болта на расстояние равное удлинению болта ub. Так как фланец в этом месте был сжат болтами, то, до тех пор, пока точка C2 не дойдет до точки C1, между фланцами будет существовать некоторое контактное давление, то есть контакт между фланцами сохраняется за счет их локальных поперечных деформаций. Естественно, что при отсутствии предварительного натяжения болта Pbh, контакт между фланцами исчезнет при любой, сколь угодно малой внешней силе Pf. Аналогичная предпосылка принята при анализе работы Т-образного фланца в работе. Рассмотрим случай работы Т-образного фланца, в котором на всех этапах его нагружения, контакт между фланцами сохраняется, т. е. не происходит их раскрытия по оси болтов. Для простоты расчета заменим распределенные каким-то образом по поверхности фланца усилия сосредоточенными силами Pf, Pbh и VL, действующими в месте приложения равнодействующих этих усилий (рис. 1 б). Для определения этих сил составим уравнения совместности усилий и деформаций. Полное усилие в болте нагруженного соединения равно: Так как при деформировании фланца его поперечные деформации, вызванные предварительным натяжением болтов Pbh, уменьшаются, то соответственно уменьшаются и контактные усилия между фланцами до величины Усилия Nhad и Nflad можно определить, зная деформации элементов и их податливость: Определение λb и λfl представляет отдельную задачу и будет рассмотрено ниже. В соответствии с расчетной схемой Т-образного фланца, представленной на рис. 2, запишем первое условие равновесия для его левой или правой половины: Для формулирования следующего условия равновесия рассмотрим точку С, лежащую на оси болта (рис. 2). Моменты, создаваемые силами Pf и VL относительно этой точки, равны внутреннему изгибающему моменту, возникающему в средней части фланца, т.е. Рычажное усилие VL определим через изгибающий момент, действующий в зоне болтов, следующим образом Подставляя формулу (6) в формулу (5), получим выражение для определения внешнего усилия Pf через изгибающие моменты, действующие во фланце в средней части и в зоне болтов: В формулах (5—7) коэффициенты ci и cjb равны отношению действующего в расчетной полоске фланца изгибающего момента к максимальному моменту, воспринимаемому сечением расчетной полоской. Коэффициент ci относится к сечению в средней части расчетной полоски, a cjb — к сечению фланца в зоне болтов. Введение индексов «i» и «j» позволяет рассматривать работу расчетной полоски фланца как в упругой, так и в упруго-пластической стадиях работы. При этом индексы «i» и «j» принимают значение «е» или «р» для упругой или упругопластической стадии работы полоски фланца. Как было показано ранее, при упругой работе 0 ≤ сe(сeb) ≤ 1,0 и 1 ≤ сe(сeb) ≤ 1,475. Таким образом, коэффициенты ci и cjb являются коэффициентами использования несущей способности сечения расчетной полоски Т-об-разного фланца в упругой и упруго-пластической стадиях работы. Для составления остальных уравнений совместности усилий и деформаций обратимся к рис. 2. В силу симметрии рассмотрим расчетную полоску фланца как защемленную консоль, нагруженную силами VL, Nbt и Nfl. Деформацию болта ub под действием внешней нагрузки Pf выразим через разницу прогибов точек А и С расчетной полоски Далее, пренебрегая поперечными деформациями сечения фланца в месте действия рычажной силы, предположим, что в этом месте угол поворота сечения расчетной полоски относительно линии контакта фланцев равен нулю, т.е. Объединяя полученные результаты, из формул (4 б), (6), (7), (8) и (9) составим систему уравнений для определения силовых факторов и деформаций в нагруженном Т-образном фланце Для определения прогибов uA и uB и угла поворота ΘA воспользуемся теоремами о кривизнах, превосходно изложенных в работе: Теорема 1. Угол между касательными к линии прогибов в двух точках, например, А и В, равен площади эпюры кривизн на участке между этими точками. Теорема 2. Прогиб u в точке А по отношению к касательной в точке В равен статическому моменту относительно точки А площади эпюры кривизн на участке от А до В. Теоремы о кривизнах получены из чисто геометрических соображений и поэтому справедливы, при малых прогибах, для балок из любых материалов, как при упругих, так и при упруго-пластических деформациях. Влияние деформаций сдвига при этом не учитывается. Кривизну сечения при упругой работе материала ωel найдем по формуле: Кривизну сечения при упруго-пластической работе материала со определим в соответствии с работой: С учетом ранее введенных коэффициентов сp и сpb изгибающие моменты Mep представим в виде: для средней зоны Mep = cp*Mel; для зоны болтов Mep = cpb*Mel. На рис. 3 показана эпюра изгибающих моментов и кривизны сечений для половины Т-образного фланца в упругой стадии работы. где А, С, К — границы интегрирования; ω(z) - кривизна рассматриваемого сечения. В соответствии с теоремами о кривизнах запишем уравнения для нахождения прогибов иA, иC и угла поворота ΘA: Ввиду сложности и разрывности функции ω(z) = φ(z), интегрирование производится по участкам: Полученная выше система уравнений (10) может быть использована при расчетах Т-образных фланцев как при упругой, так и при упругопластической работе. Вообще возможны следующие случаи работы Т-образного фланца: 1) Упругая работа: сe ≤ 1,0; ceb ≤ 1,0; 2) Частичная упругопластическая работа. Пластические деформации из-за податливости болтов проявляются только в средней части Т-образного фланца. В зоне болтов деформации упругие: 1,0 ≤ сp ≤ 1,5; сeb ≤ 1,0; 3) Полная упругопластическая работа: 1,0 ≤ cp ≤ 1,5; 1,0 ≤ cpb ≤ 1,5; 4) Образование пластического шарнира в средней части Т-образного фланца при его упругой работе в зоне болтов: cp = 1,5, сeb ≤ 1,0, 5) Образование пластического шарнира в средней части Т-образного фланца при его упруго пластической работе в зоне болтов: cp = 1,5; 1,0 ≤ cpb ≤ 1,5; 6) Образование пластических шарниров в средней части и в зоне болтов Т-образного фланца: cp = 1,5; cpb = 1,5. Многообразие возможных случаев работы Т-образного фланца объясняется его неполным защемлением в зоне болтов, вследствие чего там происходит поворот сечения, приводящий к уменьшению изгибающего момента в этой зоне по сравнению со средней зоной фланца. Ниже будут рассмотрены три случая работы Т-образно-го фланца: упругая работа (случай 1); частично упругопластичная с развитием пластических деформаций в средней зоне (случай 2); полная упругопластичная работа (случай 3). Вначале рассмотрим наиболее простой случай- упругую работу Т-образного фланца. На рис. 3 представлены эпюры моментов и кривизны сечений, которые при упругой работе сечения полностью совпадают по очертанию друг с другом. Длина отдельных участков интегрирования определится по рисунку 3 из простых геометрических соображений: Изменение изгибающих моментов по участкам описывается уравнениями: где zi — текущая координата, отсчитываемая от начала i-гo участка. Площади эпюр кривизны сечений для отдельных участков, определятся по рис. 3 с учетом формул (11), (16) и (17): Координаты центров тяжести участков интегрирования относительно точек А и С: Прогиб расчетной полоски в точках А и С найдем в соответствии с формулами (13 б) и (14 б), используя выражения для определения площадей участков интегрирования (18) и координат их центров тяжести (19) Удлинение болта ub определится по формуле (8) с учетом формулы (20): Учитывая, что zAIII - zCIII = zL и zAII - zCII = zL, окончательно получим: Из формулы (15 б) найдем угол поворота сечения расчетной полоски фланца в месте приложения рычажной силы: или, с учетом формулы (1): откуда найдем плечо приложения рычажной силы zL будет равно: Подставляя полученные в формулах (21) и (23) результаты в систему уравнений (10) и делая соответствующие преобразования, приходим к нелинейному уравнению относительно коэффициентов сe и сb: Для различной толщины фланцев и диам болтов, параметр υ может быть протабулирован или представлен в виде графиков. При решении уравнения (26) удобно задаваться величиной коэффициента се, то есть задаваться величиной изгибающего момента в средней части Т-образного фланца, а следовательно и величиной действующих там напряжений. Так, например, принимая в качестве предельного состояния фланца достижение в нем расчетных сопротивлений Ryfl, в расчет следует вводить с = 1,0. Нахождение корней уравнения (26) может производится любым численным методом. На рис. 4 изображены графики изменения величин Pf, VL, Nbad, zL и ceb в зависимости от толщины фланца. Кривые рассчитаны при ce = 1,0 для Т-образных фланцев, соединенных высокопрочными болтами М24 из стали 40Х «Селект» при bz = 4 см и ширине расчетной полоски фланца а = 7 см. Далее рассмотрим случай, когда пластические деформации развиваются одновременно в средней части Т-образного фланца и в зоне болтов. Расчет при этом несколько усложняется, что связано с увеличением общего количества участков интегрирования и с появлением участков с нелинейной зависимостью кривизны от действующего изгибающего момента. Эпюры моментов и кривизны для данного расчетного случая представлены на рис. 5. Так как работа фланца происходит в упруго-пластической стадии, индексы «г» и «j» при коэффициентах ci и cjb принимают значения «р», а сами коэффициенты записываются в виде «сp» и «срb». Протяженность участков интегрирования определится в соответствии с рис. 5: Изменение изгибающих моментов по длине участков интегрирования опишется следующими уравнениями: Кривизна сечений расчетной полоски фланца на участках с упругой работой материала определится в соответствии с формулой (11). Для участков с упругопластической работой, используя формулу (12), приходим к общему выражению для определения кривизны Площади эпюр кривизны на участках с упругой работой материала определятся в соответствии с рисунком 5. Для определения площадей эпюры кривизны на участках с упругопластической работой материала, необходимо проинтегрировать выражение (29) с учетом полученных длин участков li (27) и изгибающих моментов M(zi) (28). В общем виде площадь i-го участка эпюры кривизны найдется как После интегрирования получим: Запишем окончательные выражения для нахождения площадей эпюры кривизны: Определим расстояния от точек А и С до центров тяжести участков интегрирования Координата zi найдется следующим образом: Принимая во внимание формулу (29), найдем: Тогда, с учетом полученных зависимостей, запишем в общем виде выражение для нахождения координаты zi: Подставляя в формулу (14 а) полученные выражения (32), (33) и учитывая выражение (36), а также проведя преобразования с упрощением некоторых зависимостей, приходим к выражению для определения деформаций болта: Решая систему уравнений (10) с учетом полученных выражений для неизвестных, входящих в систему, вновь приходим к нелинейному уравнению относительно ср и сpb Здесь параметр v определяется в соответствии с формулой (26). Так же, как и для случая упругой работы Т-образного фланца, при решении полученного уравнения, следует задаваться величиной коэффициента сp. Назначение величины ср определяется допустимым уровнем развития пластических деформаций и рассматривается в разделе 3.6. Для промежуточного случая, т.е. при упругой работе фланца в зоне болтов и упругопластической в средней части, эпюры изгибающих моментов и кривизн сечений приведены на рис. 6. Индексы «i» и «у» при коэффициентах сi и cjb здесь принимают значения «р» и «е», а сами коэффициенты записываются в виде «ср» и «сeb». Условие (156) примет вид: откуда найдем плечо приложения рычажной силы: Рычажное усилие VL определим по формуле (6) с учетом формулы (41): Используя найденные значения парам системы уравнений (10) и решая ее, вновь приходим к нелинейному уравнению, связывающего коэффициенты сp и Ceb Полученное уравнение, как и ранее, следует решать при заданной величине коэффициента сp, принимая его значение исходя из уровня допустимых пластических деформаций. Обобщая результаты проведенных исследований Т-образных фланцев, можно сделать следующие выводы: 1. Работа Т-образных фланцев происходит нелинейно как в упругой, так и в упругопластческой стадиях, т. е. фланцевые соединения обладают выраженной геометрической и физической нелинейностью; 2. Во фланцевых соединениях возникают рычажные силы VL, величина и место приложения которых зависят от парам соединения (толщина фланцев, расстояние между болтами, диаметр болтов и др.); 3. Величина рычажных сил имеет экстремум при изменении толщины фланца (при прочих равных условиях), снижаясь при тонких и толстых фланцах (рис. 4 б); 4. Расстояние zL от оси болта то места приложения равнодействующей рычажных сил не является постоянной величиной, а увеличивается с ростом толщины фланцев. Предпосылка о действии рычажных сил на внешних краях Т-образного фланца может иметь место только при определенных параметрах соединения; 5. Увеличение толщины фланца, при прочих равных условиях, уменьшает степень его защемления в зоне болтов, приближая его расчетную схему от жестко защемленной к шарнирно опертой пластине, что снижает относительную эффективность толстых фланцев; 6. Наиболее опасным является сечение в середине Т-образного фланца, где действуют максимальные изгибающие моменты. Ранее, при определении толщины фланцев предлагалось вводить специальный коэффициент Kp, учитывающий податливость болтов. Этот коэффициент следует определять по формуле: Коэффициенты сi и Cjb определяются из уравнений (26), (43) или (38) в зависимости от стадии работы фланца — упругой, частичной упругопластической или полностью упругопластической. Для практических случаев при расчетах в упругой стадии работы (фибровые напряжения не превышают расчетных сопротивлений стали фланца Ryfl), поправочный коэффициент Кp можно определять по приближенной формуле: |