Ударные волны нагрузки и разгрузки в стержне

Рассмотрим качественную картину образования и распространения ударных волн нагрузки и разгрузки в стержне из пластического материала.
Предположим, что к торцу полубесконечного стержня в момент t=t0=0 приложено ударное воздействие, т, е. концу стержня сообщается либо скорость, либо напряжение о амплитудой σm, временная зависимость которых может иметь вид, указанный на рис. 56, а, б.

Пусть напряжение (см. рис. 56, б) в момент времени t0≤t≤t1 возрастает, а затем остается постоянным при t≥t1. Тогда в стержне будет наблюдаться следующая волновая картина. При σ≤σs деформации в стержне будут упругими, скорость фронта возникающей при этом плоской волны является постоянной.
Как только о станет больше предела упругости, скорость волны будет зависеть от напряжения. На фронте плоской волны претерпевают разрыв деформация ε, напряжение σ и скорость частиц v. Возникает динамическая особенность в волновом процессе: большая деформация будет распространяться с меньшей скоростью, т. е. наибольшей скоростью будет обладать упругая волна. Изобразим фронты распространяющихся в стержне плоских волн в системе координат «время t — расстояние (рис. 57,а). Первая прямая с наименьшим наклоном (наибольшей скоростью) будет соответствовать упругой волне. Далее, расходящиеся под разными углами прямые будут соответствовать волнам нагрузки в пластической зоне, деформация в которых увеличивается вплоть до момента t1, после которого распространяются волны с постоянной минимальной скоростью с1. Уменьшая время t1 до нуля, получим случай мгновенного приложения к концу стержня постоянного давления σmax. При этом семейство волн переменной скорости (зона 2) становится расходящимся веером прямых, исходящих из одной точки и проходящих через начало координат (рис. 57,б). Данное семейство волн носит название волн Римана.

Таким образом, при ударном воздействии на конец стержня напряжения, имеющего вид функции, изображенной на рис. 56, б, вначале возникнет плоская упругая волна, распространяющаяся с максимальной скоростью C0. Данная волна будет являться фронтом волны нагрузки (рис. 58,а), так как на ее фронте х — сot = 0 имеют место скачок деформации от 0 до ε0 и повышение скорости частиц — от 0 до v = -а0ε0. Вслед за упругой волной будут распространяться волны Римана с переменной скоростью с, имеющие фронт х—ct = 0. Максимальная деформация εm (рис. 58, б), соответствующая максимальной величине напряжения σm, будет распространяться с минимальной постоянной скоростью c1. Причем данная картина будет наблюдаться до момента t=t1. В момент t=t1 происходит разгрузка конца стержня. Как следует из ранее сказанного и из рис. 58, процесс разгрузки будет отличаться от процесса нагрузки, и в момент t1 от торца стержня отойдет так называемая волна разгрузки (волна Рахматулина), которая, как упругая волна, будет иметь скорость C0. На фронте этой волны наблюдается разрыв второй производной смещения и, тогда как его первые производные непрерывны. Фронт волны разгрузки, имея наибольшую скорость, догонит более медленные волны пластической зоны, и стержень будет разделен на две области, в одной из которых происходит возрастание напряжения, в другой — разгрузка. Расстояние между фронтами нагрузки и разгрузки, перемещающимися с постоянной скоростью C0, постоянно. При этом материал стержня, расположенный в этой области, будет находиться в пластическом состоянии, т. е. после наступления разгрузки в данной области стержня будут наблюдаться остаточные деформации. Однако с течением времени простые волны будут все более расплываться, поэтому в отрезке между фронтами нагрузки и разгрузки развиваются все меньшие пластические деформации.
Аналитическое описание этих процессов является достаточно сложной математической задачей.