Пластические свойства среды и волной процесс
|
Решение волновых задач сводится к нахождению по заданным в пространстве в какой-либо момент времени значениям напряжения, скорости частиц и плотности, их значений в другие моменты времени при действии в среде возмущений. В этом случае оно основывается на решении системы дифференциальных уравнений, которая интегрируется при учете определенных граничных условий. Система уравнений может быть решена, если она является замкнутой, т. е. число независимых уравнений равно числу искомых величин — функций. Так, для идеальных и неидеальных плотных сред система уравнений для плоских волн включает уравнения сохранения массы (неразрывности), уравнения, соответствующие закону сохранения количества движения, и дополнительные уравнения, выражающие свойства среды  Система содержит три неизвестных функции γ, Р, ρ, т. е. является замкнутой. Все функции зависят от х и t. Одним из уравнений, замыкающих систему, является уравнение P=P(ρ) или σ=σ(ε), определяющее сжимаемость среды и устанавливающее для неидеальных сред зависимость напряжения от деформации и скорости деформации: ε = dε/dt. Особенности среды, вытекающие из характера зависимостей, представленных уравнениями σ=σ(ε) или Р = Р(ρ), выражают с помощью моделей. При этом предполагается, что модели должны соответствовать основным свойствам реальных сред, определяющим их поведение в рассматриваемых процессах, и допускают описание этих свойств в виде известной простой системы уравнений. Наиболее распространенными являются модели линейно-упругой, нелинейно-упругой, упругопластической и вязкоупругой сред. Все рассмотренные в предыдущих главах задачи о распространении упругих волн в твердом теле предполагали, что волновое движение обусловлено малыми возмущающими нагрузками. В этом случае твердые тела ведут себя как упругие, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука, который линейно и однозначно связывает компоненты тензоров напряжения и деформаций. Если вывести какой-либо элемент упругого тела из состояния равновесия в пределах области упругости, тело полностью возвращается в первоначальное равновесное состояние при снятии нагрузки. Линейные упругие среды обладают таким свойством, что плоские волны распространяются в них без потерь и связанного с ними угасания и изменения профиля. В каждом сечении среды, перпендикулярном направлению движения волны, напряжение и скорость частиц принимают те же значения, что и в начальном сечении среды, но только в разные моменты времени. После прохождения волны и снятия нагрузок среда возвращается в исходное состояние. Сферические и цилиндрические волны, в отличие от плоских, вследствие сферической расходимости с удалением от источника возмущения угасают. При этом уменьшается максимальное напряжение и изменяется профиль волны. Если зависимости σ = σ(ε) или P=P(V) нелинейны, а развитие процессов нагружения и разгрузки совпадает, т. е. остаточные деформации отсутствуют, то такие среды описываются с помощью моделей нелинейно-упругой среды (рис. 53). Здесь на фронте плоской волны имеют место тепловые потери, величина которых связана с кривизной зависимости σ = σ(ε).  Более сложной является модель упругопластических сред (рис. 54). При малых нагрузках (σ≤σs) эти среды ведут себя как упругие, а при больших (σ≥σs) — как пластические. При малых нагрузках зависимость σ(ε) может быть линейна или нелинейна, но одинакова при нагрузке и разгрузке, а при больших напряжениях — различна при нагрузке и разгрузке. Показанный здесь график зависимости напряжения от деформации характерен для сжатия и разгрузки неводонасыщенных грунтов.  Знак кривизны зависимости изменяется от величины нагрузки: при малых напряжениях dσ/dε≥0, d2σ/dε2≤0, а при больших dσ/dε≥0 и d2σ/dε2≥0. Следовательно, меняется и знак d2P/dV2, так как P = -σ и ε = (V—V0)/V0. Кривая разгрузки в пластических средах не совпадает с кривой нагрузки; при уменьшении напряжения до нуля в среде сохраняются остаточные деформации εост. Вторичная нагрузка до величины напряжения, достигнутого при первом нагружении, происходит приближенно по кривой разгрузки. В зависимости от чувствительности к скорости деформирования твердые среды, в которых проявляются пластические свойства, делят на две группы: упруго-пластические, для которых не наблюдается зависимости от скорости деформаций, и вязкопластические, напряженное состояние которых определяется скоростью деформаций, т. е. напряжения определяются не только величиной самой деформации, но и их производными по времени. Эти особенности обусловлены наличием вязкости, чувствительной к скорости деформирования. В одних вязкопластических средах вязкость проявляется в упругой и пластической зонах, а в других — только в пластической области, в упругой же они ведут себя как обычные тела, подчиняющиеся закону Гука. Так как волновые явления, рассматриваемые в геоакустике и сейсмике, имеют относительно малую длительность, то в дальнейшем изложение ограничивается группой упругопластических сред. Переход из упругого состояния в состояние пластичности происходит только при определенных величинах напряжения. В частном случае одноосных испытаний образца пластическое состояние наступает при преодолении предела упругости σs, т. е. при условии  где σ — главное напряжение. В общем случае этот переход определяется условием пластичности, которое связано с величиной касательных напряжений, действующих в теле. Согласно условию пластичности, при пластическом состоянии твердого тела интенсивность касательных напряжений I является некоторой функцией F среднего нормального напряжения:  σ1, σ2, σ3 — главные нормальные напряжения в теле. Решение задач о распространении даже плоских волн в упругопластических средах значительно сложнее, чем в нелинейно-упругих средах. Пластичность среды проявляется образованием остаточных деформаций (см. рис. 54, а), пластические свойства обнаруживаются только после того; как нагрузка начинает сниматься, например, за фронтом волны, где среда разгружается. Скорость распространения малых возмущений определяется из графика (рис. 54, б), позволяющего зависимость P(V) аппроксимировать кусочно-линейными функциями, угол наклона к оси V касательной к кривой P(V) в точке, соответствующей состоянию, на которое накладывается данное малое возмущение. Чем больше угол наклона касательной, тем быстрее распространяется возмущение. В пластической зоне угол наклона касательной к кривой P(V) при разгрузке больше, чем при нагрузке, и возмущения, соответствующие разгрузке, обгоняют возмущения, относящиеся к нагрузке. В каждой точке, где происходит переход от нагрузки к разгрузке, кривая P(V) имеет излом, и касательная в этих точках не определена. Поэтому фронт волны разряжения, на котором происходит переход от нагрузки к разгрузке, в пластической среде распространяется по другим законам, чем в упругой среде. |
