Распространение упругих волн в слоистом массиве
|
Очень часто массив горных пород на геологическом разрезе имеет многослойное строение, причем слои массива различаются как своей толщиной, так и физическими характеристиками. При решении разного рода исследовательских и технологических задач часто необходимо знать динамические характеристики, в частности амплитуду упругих волн, прошедших через многослойную среду. Наиболее важной особенностью последней является сложность волновой картины, возникающей в ней при распространении даже самых простых — плоских гармонических волн. Это связано с тем, что на каждой границе между соседними слоями может возникнуть четыре новые волны — две отраженные (продольная и поперечная) и две преломленные, каждая из которых, попадая на другую границу, станет причиной аналогичного процесса отражения — преломления. Простейшим примером среды с несколькими границами является отдельный слой, расположенный между двумя полупространствами. Он характеризуется наличием двух отражающих границ раздела. Особенностью отражения — преломления волны на этом слое является то, что волна, отразившись или преломившись от одной границы, может испытать подобное явление уже на другой границе. В принципе, такой процесс отражения — преломления на каждой границе слоя может повторяться и далее. В связи с этим при рассмотрении процесса отражения — преломления упругих волн на слое необходимо учитывать большое число преломленных и отраженных волн, особенно в случае падения на слой сферических волн, когда возможно образование целой серии головных волн, значительно усложняющих волновую картину как внутри самого слоя, так и в окружающих его полупространствах. В случае импульсного источника волновая картина, возникающая в массиве, содержащем слой, в значительной мере зависит от толщины слоя. При малой его толщине по сравнению с длиной волны внутри слоя возможно образование сложной интерференционной картины, так как в течение одного периода происходит наложение волн, отражившихся от верхней и нижней границ. Поэтому при решении задач отражения — преломления слои, подразделяются на толстые и тонкие. Если отношение толщины слоя h к длине волны, распространяющейся внутри его, λсл меньше двух (h/λсл<2), то слой считается тонким, а в другом случае — толстым. В толстом слое отражение падающих волн как от верхней, так и от нижней границы происходит аналогично падению волны на границу из полупространства. Предположим, что два одинаковых полупространства с характеристиками ρ1 и C1 разделены плоским бесконечным слоем толщиной h с характеристиками ρ2 и С2. На слой из нижнего полупространства падает плоская волна под углом θ1 (рис. 19).  В результате взаимодействия падающей волны с нижней границей (z=0) образуются отраженная волна, распространяющаяся под углом θ1 к Оси z, и преломленная волна, движущаяся под углом θ2. Согласно закону Снеллиуса, имеем: sinθ1/C1 = sin θ2/С2. Преломленная волна в дальнейшем упадет на вторую границу z=h, в результате чего в верхнем полупространстве будет распространяться преломленная волна, а на границу z=0 уже из слоя упадет отраженная от границы z=h волна, которая, в свою очередь, также претерпит отражение и преломление на границе z=0 с теми же последствиями, как и в первом случае. В результате в нижнем полупространстве кроме падающей волны будут распространяться отраженная и преломленные на первой границе плоские волны под углом θ1, которые можно обозначить φотр. В верхнем полупространстве будут распространяться под тем же углом θ1 преломленные на границе z=h плоские волны. В слое будут наблюдаться две группы поли — одна, распространяющаяся в положительном направлении оси Z, и другая — в отрицательном под углами θ2. Так как все волны в данном случае плоские и гармонические, их можно объединить в систему волн: падающая на границу слоя волна  Множитель еjwt в выражениях (III.19)—(III.22) опущен. С учетом граничных условий на каждой границе слоя, а также того, что поле в верхнем полупространстве определяется полем падающей и отраженной волн (φпад + φотр), поле в нижнем полупространстве — полем прошедшей волны (φпрош), поле в слое — полем двух бегущих во взаимно противоположных направлениях волн (фсл). можно получить выражения для модулей коэффициентов отражения Vcл от слоя и преломления Wсл плоской гармонической волны:  где α = ρ2C2 cosθ1/ρ1C1 cosθ2; pi = k1 cosθ1; β2 = k2cos θ2; ki = ω/Сi = 2πf/Сi — волновое число i-го слоя. Отличительной особенностью процесса отражения — преломления акустических волн от границы слоя является зависимость коэффициентов отражения и преломления от частоты падающей на границу волны или от отношения толщины слоя к длине волны h/λ2 Или k2h = 2πh/λ2 (рис. 20).  Так, если толщина слоя составляет целое число полуволн h cos θ2 = nλ2/2, наблюдается полное прохождение волны через слой (Vсл = 0). Если толщина слоя соответствует нечетному числу четвертей волны hcosθ2 (2n+1)λ2/4, наблюдается максимальное отражение волны от слоя (Vcл = Vmax). Это объясняется интерференционной природой волнового поля внутри слоя, когда волны, отраженные от нижней границы, складываются с волнами, отраженными от верхней границы либо в фазе, либо в противофазе. При этом диапазон изменения коэффициента отражения, т. е. величина Vmax, зависит от степени рассогласования волновых сопротивлений слой и окружающих полупространств q = Z2/Z1, и при увеличении q величина Vmax возрастает. В связи с этим при отражении от слоя изменяются форма падающей импульсной волны и ее спектральный состав. Когда толщина слоя значительно меньше длины волны и в пределе β2/h→0, то Wcл→2. Если полупространства, которые разделяют слой, имеют неодинаковые характеристики (Z1 = ρ1C1 и Z3 = ρ3C3), полная прозрачность слоя (т. е. Vcл = 0) наблюдается при условии  При любых соотношениях волновых сопротивлений слоя и окружающих полупространств при падении на слой плоской волны отсутствует эффект полного внутреннего отражения падающей волны, так как при падении волны на слой под углом, большим критического, неоднородная волна, образующаяся на границе слоя, будет создавать внутри него поле, которое будет вызывать возмущения и в другом полупространстве. В случае образования внутри слоя обменных волн вследствие явления трансформации падающих и отраженных на каждой границе волн количество отдельных волн в волновом пакете будет все-таки конечной величиной, так как при последующих отражениях и преломлениях волн в слое амплитуды их будут уменьшаться (даже без учета затухания в слое и полупространствах). Это связано с тем, что колебательная энергия первичной падающей волны будет выноситься из слоя в виде отраженных и преломленных волн, волновая картина будет чрезвычайно сложной, а следовательно, и расчет коэффициентов отражения и прохождения также значительно затруднится, и сами окончательные формулы станут весьма громоздкими. Если CР2≥CР1, волновая картина еще более усложнится из-за возникновения целой системы неоднородных волн, распространяющихся внутри слоя. При падении на такой слой сферической волны, кроме того, возникают еще и головные волны различных типов (конические волны). При этом в слое будет образовываться целое семейство головных волн. Так, если СP2≥СP1 и особенно если CS2≥CP1, в нижнем полупространстве будут возникать как продольные, так и поперечные головные волны, вызванные скользящими вдоль границы Z=0 волнами. Кроме того, волны, прошедшие через первую границу слоя и отразившиеся от верхней границы под углом, большим критического, будут создавать головные волны, распространяющиеся внутри слоя, которые, отражаясь от границ слоя, будут создавать волны с коническим фронтом. С течением времени семейство головных волн будет заметно возрастать, и они вместе с простыми однократно и многократно отраженными волнами, а также вместе с поверхностными волнами, возникающими на границе слоя, будут создавать сложную волновую картину, которую иногда бывает довольно сложно расшифровать. Особенно благоприятно образование волн с коническими фронтами внутри слоя, если источник тоже расположен внутри слоя. Такие случаи встречаются при производстве сейсмических и геоакустических исследований, проводимых с помощью взрывов внутри верхнего слоя грунтов или внутри угольного пласта. В этом случае скорость распространения продольных волн в слое всегда меньше скорости продольных, а иногда и поперечных волн в более плотных породах нижележащего и окружающих полупространств, и головные волны в слое будут образовываться скользящими вдоль нижней границы слоя волнами. Головные волны, отражаясь уже от верхней свободной границы, создадут отраженные волны с коническими фронтами. Кроме того, отраженные от свободной границы продольные и поперечные волны могут образовать еще на нижней границе слоя как продольные, так и поперечные головные волны, и т. д. Семейство простых, монотипных и обменных волн, а также однократно и многократно отраженных поверхностных и головных можно наблюдать на земной поверхности, где располагают приемники упругих колебаний, Однако головные волны будут наблюдаться на поверхности слоя, начиная с определенного расстояния от источника возмущений до приемника. Это расстояние зависит от толщины слоя и критического угла. Так, например, для продольной P головной волны P1P2P1 (где индекс 1 относится к среде слоя, а индекс 2 — к среде полупространства) это расстояние определится по формуле  где h — толщина слоя; h0 — глубина расположения излучателя в слое относительно свободной поверхности. Амплитуда наблюдаемых в определенной точке поверхности волн в случае полной волновой картины будет различна в зависимости от соотношения упругих характеристик слоя и полупространства, толщины слоя, расстояния от излучателя до приемника. Так, при малых расстояниях от излучателя наиболее интенсивны монотипные, не претерпевшие при отражении трансформацию волны. При увеличении расстояния возрастает роль уже обменных головных и поверхностных волн. В некоторых случаях, когда толщина слоя сравнима с длиной волны, волны различных типов, распространяющиеся в слое, будут интерферировать друг с другом и образовывать суммарную, так называемую интерференционную волну. В случае тонких (h/λ = 0,75/1,0) и особенно очень тонких (h/λ≤0,25) слоев волновая картина, а следовательно, и расчет коэффициентов отражения и преломления в таком слое значительно усложняется. Это связано с тем, что падающую на слой и отраженную от него, прошедшую через слой и распространяющуюся внутри слоя гармонические волны уже нельзя объединять в единую систему волн, как в случае толстого слоя, так как за счет отражения от противоположных границ слоя и течение одного периода волны складываются в самых различных фазах, создавая весьма сложную интерференционную картину. В случае импульсного сигнала волновая картина образуется в результате суммирования нескольких импульсов, отраженных от границ за время длительности основного импульса. Поэтому при отражении или прохождении через тонкий слой первоначальный импульс будет изменяться гораздо сильнее, чем в случае Толстого слоя, в котором импульсы, отраженные от верхней и нижней границ и многократно отраженные, можно легко различить на сейсмо- или осциллограмме. В связи с этим при достаточно малых углах падения волны на слой (θ≤12°), т. е. в области углов, в которой коэффициенты отражения и преломления для обменных волн малы, и при падении продольной волны преимущественно образуются продольные волны, для расчета отражающих и преломляющих свойств тонких слоев тонкий слой рассматривают в виде четырехполюсника, для которого входной функцией является падающая волна UP(z) = Ap exp [j(ωt — z/C1)], а выходной — отраженная от слоя волна UR(θ). Последняя складывается из двух волн (при рассмотрении только однократно отраженных волн), отраженных от верхней и нижней границ слоя,  где τ — время прохождения волны через слой. В этом случае реакцию тонкого слоя на входное воздействие можно характеризовать, как и для четырехполюсника, двумя параметрами — амплитудной частотной и фазовой характеристиками. Амплитудная частотная зависимость слоя:   Фазовая характеристика тонкого слоя, определяющая фазу отраженной от слоя волны:  Как видно из данных выражений, отклик системы (амплитуда отраженной волны) в виде тонкого слоя имеет ярко выраженную частотную зависимость, причем амплитудная частотная характеристика слоя, определяющая в конечном счете коэффициент отражения от него, является периодической функцией частоты волны. В связи с этим тонкий слой будет изменять спектр отраженной (или проходящей) волны, а также ее амплитуду, иными словами, вносить искажения в сигнал в случае, если тонкий слой является помехой при исследовании массива горных пород. Таким образом, зная амплитудную и фазовую характеристики слоя, а также спектр падающей волны, можно рассчитать спектр (а следовательно, и форму) отраженной волны или же решить обратную задачу — по известным спектрам определить физические характеристики слоя. Тонкий слой в связи с его специфическими свойствами может быть причиной искажений упругой волны, проходящей через него: искажения спектра сигнала, уменьшения амплитуды падающей на слой волны, а следовательно, и эффективного затухания сигнала (не связанного с необратимыми потерями); явления дисперсии фазовой скорости волны. Хотя каждый тонкий слой вносит искажения в проходящую или отраженную волну, однако конкретный характер искажения спектра сигнала зависит от ряда причин: соотношения акустических жесткостей слоя и окружающих его полупространств; угла падения волны на слой; типа самой волны и, главное, от соотношения между толщиной слоя и длиной волны. Коэффициент отражения от тонкого слоя, так же как и его частотная характеристика, представляет собой периодическую функцию (см. рис. 20). Максимальному значению коэффициента отражения соответствует такое отношение h/λ2, при котором волны, отраженные от верхней и нижней границ слоя, складываются в фазе. Минимальному значению Vcл соответствует такое отношение h/λ2, при котором волны складываются в противофазе. Однако положение максимумов и минимумов коэффициента отражения в основном определяется параметрами qik = Zi/Zk, т. е. соотношением акустических жесткостей слоя и полупространств. Причем в зависимости от этих соотношений слой может обладать различными частотно-избирательными свойствами. В связи с этим тонкие слой в зависимости от величины q12 (для простоты q13 = 1) делятся на три группы: первая — слой с повышенной акустической жесткостью; вторая — слой с пониженной акустической жесткостью; третья — слой с промежуточной акустической жесткостью. Первая и вторая группы относятся к контрастным слоям, третья — к промежуточным. Коэффициент отражения от контрастных слоев в области малых значений h/λ2 (в области низких частот) имеет малое значение. Это означает, что в сигнале, отраженном от контрастных тонких слоев, низкочастотные составляющие будут минимальны, а в сигнале, отраженном от промежуточных слоев, — максимальны. Максимальное значение коэффициента отражения от тонкого контрастного слоя на определенной частоте, соответствующей максимальному значению коэффициента отражения от слоя Vmax, больше коэффициента отражения от границы двух полупространств с тем же значением q12, имеющего постоянное значение во всем диапазоне частот. Такое различие становится еще больше при повышении контрастности тонкого слоя. Это является причиной того, что при исследовании отражений от резкой границы двух полупространств, расположенной под тонким слоем, очень часто коэффициент отражения от тонкого слоя по своей амплитуде превышает таковой от исследуемой границы. Частотные характеристики тонкого слоя очень сильно зависят от угла падения волны на слой, особенно в случае контрастных слоев повышенной жесткости, т. е. когда имеются наиболее благоприятные условия для образования обменных и головных волн при отражении. Так, при углах падения, меньших критических, частотная характеристика коэффициента отражения от слоя, так же как и в случае нормального падения волны, является периодической, имеющей резонансную форму. Однако при больших углах падения эта характеристика уже имеет вид частотной характеристики высокочастотного фильтра с ровным участком, начиная с определенного значения отношения h/λ2 Это означает, что, начиная с определенных значений h/λ2, отражение от тонких слоев подобно отражению плоской волны от границы полупространства, когда коэффициент отражения не зависит от частоты. В тонких слоях с пониженной скоростью распространения волн и в промежуточных слоях данный эффект не наблюдается, а частотная характеристика тонкого слоя при всех углах падения имеет резонансную форму, у которой уменьшаются лишь значение и положение максимумов коэффициента отражения. Таким образом, в зависимости от соотношения толщины слоя и длины волны в нем, угла падения и соотношений акустических жесткостей слоя и полупространств тонкий слой может обладать самыми различными избирательными свойствами, и его частотные характеристики могут быть аналогичны частотным характеристикам электрических фильтров самого различного типа — низкочастотного, высокочастотного, полосового, режекторного. Иными словами, у волн различной природы, проходящих в тонких слоях с различными характеристиками, либо отражающихся от их, границ могут различным образом искажаться их частотные спектры. Уменьшение амплитуды падающей волны связано с отражением части энергии от обеих поверхностей слоя; с образованием обменных однократных и многократных волн, а также головных волн при наличии высокоскоростного слоя. Характер изменения амплитуды волны в тонкослоистых средах и связанное с этим изменение спектра импульсного сигнала аналогичны изменениям их в неидеально упругих средах с диссипативным поглощением, а эффективные коэффициенты затухания близки к коэффициентам затухания среды с диссипативными потерями. С увеличением частоты в области небольших значений h/λ = 0/2 эффективные коэффициенты затухания линейно возрастают, так же как и в случае диссипативных потерь среды. Эффективные коэффициенту затухания как продольных, так и поперечных волн линейно возрастают с увеличением числа слоев и их толщины. Наиболее ярко затухание упругих волн в тонкослойных средах выражено в случае сильной скоростной дифференциации слоистой системы. В связи с тем что сдвиг фаз ε между падающей и отраженной волнами в случае тонкого слоя зависит от отношения h/λ2, а также связан с фазовой скоростью волны Сф = ωl/ε, где l — расстояние между двумя точками, на котором определяется сдвиг фаз ε, в тонкослоистой среде наблюдается ярко выраженная дисперсия скорости:  Наиболее сильно выражена дисперсия скорости при малых значениях h/λ2 (менее 0,25), т. е. в случае очень тонких слоев. В толстых слоях (h/λ2≥1) она практически не заметна, так как на расстоянии, большем длины волны, сдвиг между фазами отраженных от разных границ волн успевает компенсироваться. Характер и степень дисперсии фазовой скорости зависят от контрастности тонкослоистой среды. В контрастной среде дисперсия аномальна, а в тонких слоях промежуточной жесткости — нормальна, т. е, фазовая скорость волны убывает с ростом частоты в отличие от аномальной дисперсии. Чем больше дифференцирована тонкослоистая среда, тем ярче выражена в ней дисперсия фазовой скорости. В очень тонких слоях (h/λ2≤0,25) с сильной дифференциацией дисперсия фазовых скоростей может достигать 20—30 %, что является весьма существенным при измерениях скорости в тонкослоистых средах различными частотными методами (ультразвуковыми и сейсмоакустическими). В многослойной среде, состоящей из n слоев, задача об определении характеристик отраженных и преломленных в данной системе слоев волн и расчете коэффициентов отражения и преломления такой системы слоев связана с рядом трудностей; необходимостью учета огромного числа отраженно-преломленных прямых и обменных волн, решением системы из 4(n+1) дифференциальных уравнений. Поэтому решение такой задачи возможно лишь весьма приближенно при целом ряде допущений либо при малом числе слоев. Так, в случае гармонических плоских волн данная задача может быть решена с использованием рекуррентных формул, записанных в матричном виде. В этом случае получают формулы связи волновых характеристик двух граничащих друг с другом слоев. В связи с однородностью модели, а следовательно, идентичностью полученного алгоритма, последовательно переходя от одного слоя к другому, в конечном счете можно получить выражения связи акустических характеристик упругой волны на входе в многослойную систему и выходе из нее. Пусть между двумя жидкими полупространствами (для простоты конечных выражений коэффициентов отражения и прохождения) расположена система из n упругих слоев. Из нижнего полупространства на границу первого слоя (I) под углом θ падает плоская гармоническая волна  В результате отражения — преломления этой волны в данной системе слоев в нижнем полупространстве будет распространяться волна, отраженная от системы слоев, амплитуда которой определяется коэффициентом отражения от системы слоев (II) Vn  В верхнем полупространстве (III) будет распространяться прошедшая плоская волна Рпрощ амплитуда которой определяется коэффициентом прохождения Wn через систему слоев,  На границе первого слоя возникнет как продольная, так и поперечная прошедшая волна, которые, в свою очередь, вызовут возникновение на следующей границе продольных и поперечных отраженных и преломленных волн. Внутри многослойной области (II) будет наблюдаться сложная картина, результатом которой явятся отраженная и преломленные волны в нижнем и верхнем полупространствах. Для получения рекуррентных формул необходимо рассмотреть два соседних граничащих друг с другом слоя с номерами (n—1) и n. Волновое поле в n-м слое толщиной h будет определяться продольным φ и сдвиговым ψ потенциалами. При этом каждый из них будет определяться совокупностью волн, отраженных и преломленных от верхней и нижней границ слоя, и должен удовлетворять граничным условиям и подчиняться закону Снеллиуса. В граничные условия между любыми двумя слоями n и (n—1) будут входить компоненты vx и vz колебательной скорости и нормальная σzz и тангенциальная σzx компоненты напряжения. Выражая каждую из указанных величин через потенциалы φ и можно получить матрицу, связывающую эти компоненты на верхней границе слоя n (когда z=h) с потенциалами внутри него. Если в этой системе уравнений положить d=0, то в результате будем иметь аналогичную систему, связывающую компоненты vi и σij на верхней границе слоя (n—1) и (z=0) с потенциалами в n-м слое. Решая ее относительно матрицы потенциалов и подставляя последнюю в первоначальную систему, получим рекуррентную формулу, связывающую величины vi и σij на границах соседних n-x и (n—1)-х слоев. Вычисляя таким образом на основании физических данных о слоях матрицу для каждого слоя и последовательно выражая величины и через vi(k-1) и σij(k-1), можно получить выражения связи величин v и а в первом и в последнем n-м слое системы слоев:  где Aij — компоненты матрицы связи, выражающиеся через параметры слоев и углы падения и преломления упругих волн на границах раздела. Общая матрица связи [Aij] представляет собой произведение матриц aij для каждого слоя  При решении задачи по прохождению плоских волн через систему слоев ввиду ее линейности в конечном счете требуется определить коэффициенты отражения Vn и преломления Wn. Для этого записываются граничные условия на границах системы, т. е. на границах первого (n=1) и последнего (n=N) слоев с внешними полупространствами, заключающиеся в непрерывности нормальных компонент скорости и напряжения и равенстве нулю тангенциальных компонент. Выражая с помощью (III. 31) и σzz(N) через и решаем получаемую систему относительно искомых коэффициентов Vn и Wn. Если окружающие слоистую систему полупространства являются упругими, то усложняются граничные условия при нахождении коэффициентов отражения и преломления (σzx(i) = 0 и vx(i) = 0) хотя уравнение связи σij(0) и vi(0) с σij(N) и vi(N) остается тем же. Как видно из приведенной схемы решения, расчет коэффициентов отражения — преломления даже в случае жидких полупространств, который является простейшим, весьма громоздкий и требует применения ЭВМ, хотя сам алгоритм решения предельно прост. Еще больше усложняется волновая картина в многослойной среде, если источник обладает сферической или цилиндрической симметрией вследствие образования головных волн, различных по своей природе. Кроме того, в многослойных средах могут возникать сходные с головными по условиям образования, так называемые подэкранные отраженные волны. Co временем, когда возмущение охватывает все большее число границ слоев, числю многократно отраженных и преломленных простых волн, обменных и головных волн возрастает очень быстро, и волновая картина становится фактически неразборчивой. В связи с тем что при регистрации часто интересуются вполне определенной волной отраженной от системы слоев, для решения поставленной задачи используют упрощенный метод, в котором рассматривается не все поле, а лишь часть отразившихся и преломившихся на определенных границах волн, заранее оговоренных до производства расчета их динамических характеристик, т. е. применяется так называемый принцип выбора. Одним из условий указанного принципа является то, что в решении задачи рассматриваются лишь однократно отразившиеся либо преломившиеся волны и лишь в исключительных случаях могут учитываться три акта отражения — преломления на одной из границ системы из n слоев. В случае источников определенного типа, временная функция воздействия которых может быть описана единичной функцией, решение задачи об определении смещения внутри толстого упругого слоя для потенциалов φ и ψ может быть получено в виде интегралов Фурье-Бесселя  B которых подинтегральными функциями Rv и Sv являются так называемые интегралы Меллина; Ii — функция Бесселя. Подинтегральные функции последних представляют собой медленно меняющиеся функции и и фазовую функцию f(s), которые удовлетворяют волновым уравнениям, граничным условиям и определяются числом отражений волны на пути от источника к приемнику, ее типом на этом пути и характеристиками источника. Решение задачи для системы из n слоев разбивается на решение серии однотипных задач по определению отражения — преломления продольной или поперечной волны на границе между двумя соседними слоями номеров m и m+1), а также на решение завершающей задачи — определение потенциалов и компонент смещения на поверхности полупространства при падении на нее из полупространства волны какого-либо типа. Общая схема решения задачи о прохождении упругих волн cо сферическими, цилиндрическими и эллиптическими фронтами, вызванных осесимметричным источником, следующая. Выбирается модель реального источника, действующего на земной поверхности слоистой среды или внутри одного из слоев (модель взрыва и т. п.), конкретизируется вид получаемой волны и в соответствии с этим определяется начальная функция X0 (или Y0) и фазовая функция в интегралах Меллина для нулевой волны. В соответствии с принципом выбора выписывается заранее известный путь волны, являющейся доминирующей на реально полученной сейсмограмме, и в соответствии с этим записываются последовательно все акты преломления — отражения от различных границ между слоями, в виде соответствующих коэффициентов Пнm. На основании известных (табличных) коэффициентов отражения — преломления (Pi→Pi+1, Pi→Si±1, Si→Pi±1)определяются функции Yv (k, s) и Yv(k, s) для каждого v-гo слоя, через который проходит данная волна:  Аналогично определяется и фазовая функция f(s, k, t, z), которая вместе с амплитудными функциями Xv и Yv определяет интегралы Меллина. Дальнейшая последовательная подстановка этих выражений в интегралы Фурье — Бесселя позволяет получить поле в (n—1)-м слое согласно выбранному ходу движения данной волны. Искомый вектор смещения на земной поверхности состоит из горизонтальной и вертикальной компонент u и w  и определяется с учетом отражения волны, выходящей из первого слоя, от свободной поверхности системы слоев. Окончательные решения получаются в интегральном виде, причем в данном акте преломления — отражения участвуют как преломленные и отраженные, так и различные головные волны. В связи с этим общее решение данной задачи можно разделить на отдельные части для каждого вида волн. Данный метод, весьма сложный по своей математической сущности, при наличии соответствующих таблиц и ориентировочных геологических сведений о разрезе исследуемого массива с успехом может быть применен для расшифровки сейсмических и геофизических данных с целью идентификации сложного геологического разреза. В частном случае, если слои располагаются на значительном расстоянии друг от друга, так что в создании проходящей волны участвуют лишь однократные волны, расчет амплитудного коэффициента прохождения через систему из nк слоев значительно упрощается. В этом случае коэффициент прохождения по энергии для одного слоя, согласно формулам Френеля,  индекс 2 относится к слою, индекс 1 — к окружающему пространству. Коэффициент прохождения по энергии для nк далеко отстоящих друг от друга слоев  Амплитудный коэффициент прохождения через систему слоев в этом случае  Данные формулы являются весьма приближенными, справедливы они лишь в небольшом диапазоне малых углов падения θ. Однако такой расчет все-таки позволяет качественно и в ряде случаев количественно выявить закономерности, характерные для многослойной тонкослоистой среды, которые особенно важны в случае экранирующего действия тонких слоев. Экранирующее действие многослойной среды заключается в том, что если среди слоев есть один, скорость продольной волны в котором выше, чем скорости в предыдущих и последующих слоях, то этот слой не дает возможности образовываться в нижележащем слое или на границе полупространства головным волнам, т. е. в случае наличия экранирующего слоя невозможно использование, метода преломленных волн. Из практики и расчетов следует, что достаточно толстый слой практически полностью экранирует головные волны. Однако тонкий слой с повышенной скоростью волн хотя частично и оказывает экранирующее действие, однако полностью предотвратить проникновение головных волн в верхнее полупространство не может. В случае наличия нескольких тонких слоев естественно ожидать увеличения их экранирующего действия. Использование формулы (III.38), а также результатов экспериментов позволяет сделать вывод, что в случае очень тонких слоев (h/λ2≤0,14) коэффициент прохождения через систему из n тонких слоев Wo больше коэффициента прохождения Wo через один слой, состоящий из этих тонких слоев. При увеличении толщины отдельного слоя коэффициент прохождения через n слоев постепенно становится меньше коэффициента прохождения для толстого слоя. При этом с увеличением числа слоев п проявление этой закономерности, усиливается. Кроме того, наблюдается резкое возрастание отношения Wn/Wo в области углов, близких к предельному. Таким образом, при падении волны под углом, большим критического, экранирующее действие тонких слоев мало, значительно меньше, действия одного толстого слоя. Образование же головных волн от самого тонкого слоя гораздо труднее. Головные волны, отраженные от тонкого слоя, имеют малую амплитуду и спектр их обеднен низкочастотными составляющими. |
