Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Отражение и преломление упругих волн на границах раздела


Геологическим средам присуща неоднородность различного характера и происхождения. Прерывистый характер процесса осадконакопления, протекающего в гравитационном поле Земли, приводит к слоистости толщ осадочных горных пород. Наложение неравномерного поля напряжений вызывает образование в них зон сжатия и растяжения, что сопровождается возникновением общей нарушенности, трещиноватости, сланцеватости массива. Наличие грунтовых вод приводит в ряде специфических условий к образованию обводненных зон и карстовых пустот. Залежи полезных ископаемых имеют геометрически правильные и неправильные формы. В массиве горных пород содержатся различные геологические включения, отличающиеся по физическим свойствам от вмещающих пород. Деятельность человека также приводит к образованию пустот в массиве, возникновению трещиноватости и перераспределению зон напряженного состояния.
В геологических средах могут наблюдаться неоднородности одного или нескольких генетических типов, одного или нескольких размеров, одной или различных форм. По характеру распределения неоднородность может быть случайной или упорядоченной, а характер ее изменения — скачкообразным или плавным. К структурным неоднородностям, которые следует выявлять с помощью упругих волн и которые имеют практическое значение в горном деле, геофизике и геологии, относят границы раздела в массиве горных пород с различными физическими свойствами, твердые включения и залежи, пустоты и карсты, трещины, волноводы, обводненные зоны и другие объекты.
Под границей раздела понимается поверхность, на которой наблюдается разрыв непрерывности одной или нескольких величин упругих параметров среды (резкие границы), либо их производных (нерезкие границы). Различие в акустических характеристиках для любой границы раздела определяет ее способность отражать и преломлять упругие волны. На границе раздела между упругими средами при падении на нее волны под углом наблюдается также явление трансформации, т. е. преобразование при отражении — преломлении волн одного типа в волны другого типа (обменные волны), например, продольных волн в поперечные и наоборот (рис. 15).
Характер отражения — преломления упругих волн зависит от многих причин, к основным из которых можно отнести: форму границы, форму фронта падающей на границу волны, характер самой границы.
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Основной физической характеристикой границы раздела, определяющей степень отражения — преломления волновой энергии на границе, является волновое сопротивление граничащих сред Zi = ρiCi, представляющее собой произведение плотности материала среды на скорость распространения упругой волны. Другой характеристикой является отношение волновых сопротивлений сред qi, которое называется рассогласованием волновых сопротивлений. Например, величина рассогласования между весьма часто встречающимися граничными средами: песчаник (CP1=3000 м/с, ρ1=2,4x10в3 кг/м3) — известняк (СР2 = 2000 м/с, ρ2 = 2,4*10в3 кг/м3) имеет значение q1 = C2/C1 = 0,67. В противном случае границы: известняк — песчаник q2 = C1/C2 = 1,5.
Чем сильнее различаются волновые сопротивления сред на границе раздела, т. е. чем больше qi, тем ярче проявляются свойства отражения — преломления границы раздела.
Если степень рассогласования волновых сопротивлений обусловлена различием как скорости, так и плотности сред, то границы называются отражающими, а если лишь одной скорости упругих волн — преломляющими.
По форме и другим своим особенностям границы подразделяются на плоские, криволинейные, неровные (периодические и статистические), бесконечные, многократные.
Наличие границы раздела приводит к изменению направления распространения волны, к передаче волнового возмущения из одной среды в другую и к изменению физической природы волнового движения после отражения — преломления. Характер указанных процессов определяется граничными условиями, т. е. особенностями передачи возмущений на границе раздела. Граничные условия заключаются в следующем: должна существовать непрерывность смещения частиц на границе раздела, т. е. должно быть равенство компонентов вектора смещения в упругой волне на границе раздела U1=U2 или u1 = u2; v1 = v2, w1 = w2; непрерывность нормальных и касательных напряжений в каждой точке границы σzz1 = σzz2; τzx1 = τzx2; τzy1 = τzy2.
Граничные условия могут быть самыми разнообразными, так как границы могут разделять различные физические среды (жидкие, газообразные, твердые).
Основной практической задачей при изучении границ раздела является определение амплитуд отраженных и преломленных волн на границе при известной амплитуде падающей волны. Эта задача может быть решена, если известны коэффициенты отражения и преломления волн на границе. Коэффициент отражения V представляет собой отношение амплитуды отраженной от границы волны к амплитуде падающей волны; коэффициент преломления (прохождения) W — отношение амплитуды преломленной волны к амплитуде падающей волны.
Коэффициенты отражения и преломления определяются физическими характеристиками самой границы и углом падения на нее упругой волны. В большинстве случаев они могут быть рассчитаны теоретически.
Так, при падении плоской продольной гармонической волны со смещением
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

из одной среды на плоскую границу раздела под углом падения 0р, в первой среде будут наблюдаться отраженные продольная UP1 и поперечная US1 волны (см. рис. 15):
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

a во второй среде — преломленные продольная UР2 и поперечная US2 волны:
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

где AP, BP, BS, DP, DS — амплитуды волн; CPi, CSi — скорости распространения соответственно продольных и поперечных волн в первой и второй средах; ω=2πf — круговая частота падающей волны.
В связи с непрерывностью среды на границе раздела необходимо, чтобы каждая соответствующая фаза падающей, отраженной и преломленной волн (след этих волн) распространялась вдоль границы с одной (кажущейся) скоростью Ск. Это условие описывается законом Снеллиуса
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

из которого следует, что при падении плоской волны на плоскую границу раздела имеет место зеркальное отражение однотипных волн, т. е. угол падения равен углу отражения θР = θР1, θS = θ1S, а угол отражения (преломления) продольных волн всегда больше угла падения (преломления) поперечных волн (θPi≥θSi), т. е. CPi всегда больше CSi.
Поле смещений в первой среде будет определяться полем смещения падающей и двух отраженных волн
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

а поле смещений во второй среде — полем смещения двух преломленных волн
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Подстановка смещений U1 и U2 и напряжений σij и τij, вызываемых этими смещениями, в граничные условия позволяет получить выражения для коэффициентов отражения Vpp = Bp/A, Vsp = Bs/A и коэффициентов преломления Wpp = Dp/A, Wsp = Ds/A для данной границы раздела, которые в общем случае определяются волновыми сопротивлениями сред Zpi и Zsi, их рассогласованиями Qp и qs, отношениями скоростей Cpi и Csi и углом падения θр волны.
Общим свойством плоских границ раздела при падении на них плоских упругих волн, если угол падения их меньше критического и не учитывается затухание в средах, является неизменность формы волны и ее спектра при отражении — преломлении, т. е. в частном случае, если падающая волна является плоской гармонической с определенной частотой, то отраженная и преломленная волны, как продольная, так и поперечная, тоже будут плоскими и будут иметь ту же частоту колебаний.
При нормальном падении плоских волн (когда их фронт параллелен границе) не наблюдается процесс трансформации одних типов волн в другие, в результате чего отражаются и преломляются только волны, аналогичные падающим. В этом случае коэффициенты отражения и преломления описываются формулами Френеля:
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Так, если волновые сопротивления сред на границе одинаковы, то вся энергия падающей волны полностью проходит во вторую среду (V = 0; W = 1). Коэффициент отражения по абсолютной величине всегда меньше единицы, знак же его зависит от соотношения волновых сопротивлений граничащих сред. Это означает, что при отражении волны от границы раздела изменяется фаза волны. Если волна падает из среды с меньшим сопротивлением (Vii≥0), т. е. на границе в падающей волне наблюдается сжатие, то и в отраженной волне также наблюдается сжатие. При падении волны из среды с большим волновым сопротивлением (Vij≤0) фаза отраженной волны сдвинута относительно фазы падающей волны на 180°. Следовательно, если в падающей волне на границе наблюдалось сжатие, то отражаться от границы в этом случае будет волна растяжения. Коэффициент прохождения всегда положителен, т. е. фаза волны при преломлении не изменяется, а величина его не превышает двух.
Так, при падении упругих волн на свободную границу (например, падение сейсмических волн на свободную поверхность Земли из глубины массива горных пород) как продольная, так и поперечная волны отражаются от границы с одинаковой амплитудой, но с фазой, сдвинутой на π (Vpp =-1), а суммарная амплитуда поля смещения непосредственно на границе раздела (воспринимаемая приемником смещений, располагаемом на свободной поверхности Земли) будет вдвое превышать амплитуду падающей волны, так как
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Эффект трансформации волн при отражении — преломлении не наблюдается также при падении горизонтально. поляризованной поперечной волны на границу раздела сред под углом, т. е. когда на границу падает волна типа SH. При этом коэффициенты отражения и преломления упругих волн записываются в виде полных формул Френеля для жидких сред:
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Если упругая волна падает из жидкости под углом на границу раздела между жидкой и упругой твердой средой, то отражаться будет лишь продольная волна, преломляться же в упругую среду в общем случае будет как продольная, так и поперечная волна. Углы их преломления определяются законом Снеллиуса.
Процесс отражения — преломления упругих волн на плоской границе раздела может быть принципиально различным при разном соотношении скоростей упругих роли в граничащих средах (C1 и С2).
Если коэффициент преломления n=С1/С2≥1, то при отражении и преломлении справедлив закон Снеллиуса в случае любого угла падения волны 0.
При n≤1 закон Снеллиуса выполняется, если продольная волна P падает на границу под углом θP, меньшим критического для данного типа волны θPкр, определяемого из условия
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Когда угол падения продольной плоской волны θр достигает критического значения, преломленная продольная волна, согласно закону Снеллиуса, распространяется вдоль границы раздела, так как θP2 = π/2. Если углы падения θр больше критического значения, то sin θP2 становится больше единицы. Это явление соответствует мнимым значениям угла преломления продольной волны, что равноценно комплексным значениям коэффициента преломления продольной волны. Начиная с критических углов падения продольной волны, преломленная продольная волна изменяет свою природу и становится так называемой неоднородной волной. Такая волна распространяется вдоль одного направления (в данном случае вдоль границы раздела), в перпендикулярном же направлении амплитуда ее убывает по экспоненциальному закону
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Неоднородная преломленная волна не переносит энергию от границы во вторую среду, так как на расстоянии одной — двух длин волн (λ/2λ) от границы амплитуда этой волны практически равна нулю. Таким образом, во второй среде при углах падения θP≥θPкр будет распространяться только поперечная волна, преломленная под углом, определенным законом Снеллиуса, а продольная волна как бы полностью будет отражаться от границы раздела. В связи с этим угол θPкр называется первым критическим углом полного внутреннего отражения.
При дальнейшем увеличении угла падения продольной волны θ'p, когда, согласно закону Снеллиуса,
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

преломленная поперечная волна начинает распространяться вдоль границы раздела, а затем также превращается в неоднородную волну
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

и энергия падающей волны не проходит полностью во вторую среду. Угол, начиная с которого наблюдается это явление, называется вторым критическим углом полного внутреннего отражения.
Аналогичное явление полного внутреннего отражения наблюдается при падении на границу раздела поперечной волны, когда n=CS1/CS2≤1. В этом случае при падении вертикально поляризованной волны неоднородной становится сначала продольная преломленная волна, а затем и поперечная. При падении на границу SH-волны во второй среде наблюдается только поперечная неоднородная волна и имеется лишь один критический угол падения θSкр.
Если на плоскую границу раздела падает негармоническая волна под углом, большим критического, то форма отраженной волны будет изменяться в результате комплексного значения коэффициента отражения. Изменение формы последней при падении ее даже под углами, меньшими критических, наблюдается, если граничащие среды характеризуются затуханием. В этом случае коэффициент отражения и коэффициент прохождения плоской волны являются комплексными величинами, зависящими от частоты колебаний в волне, что и приводит к изменению формы негармонической волны при отражении — преломлении, согласно интегралу Фурье.
На свободной плоской границе раздела упругой среды (например, на свободной поверхности Земли) возможно также распространение упругих волн, по своей природе принципиально отличающихся от продольник и поперечных объемных волн, — поверхностных волн Рэлея (R-волн). Волны Рэлея по характеру распространения вдоль границы схожи с неоднородными волнами — они распространяются вдоль границы и их амплитуда затухает по экспоненте в направлении, нормальном границе. В связи с этим возмущение, связанное с волнами Рэлея, можно обнаружить в слое толщиной от одной до двух длин этих волн. В смещении в волне Рэлея присутствует как продольная, так и сдвиговая компонента. Анализ показывает, что волна Рэлея образована суперпозицией продольной и поперечной неоднородных волн, распространяющихся вдоль границы с одной скоростью CR, в связи с чем потенциалы смещения поверхностной волны Рэлея могут быть записаны следующим образом:
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

где kR = ω/CR; kр = ω/СP; kS = ω/CS — волновые числа, поверхностной, продольной и поперечной волн; CR — фазовая скорость рэлеевской волны.
Приближенно значение скорости поверхностной рэлеевской волны определяется по формуле
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

где G — модуль сдвига; v — коэффициент Пуассона.
Для реально возможных значений 0≤v≤0,5 диапазон изменения CR: от 0,87Cs до 0,96 Cs. В среднем скорость рэлеевских волн можно считать примерно равной 0,9 Cs. Скорость распространения рэлеевских волн не зависит от частоты.
В связи с присутствием в смещении поверхностной волны Рэлея как продольной, так и сдвиговой составляющей, каждая частица среды в рэлеевской волне движется по эллипсу (рис. 16), большая ось которого перпендикулярна границе раздела, а плоскость,— параллельна направлению распространения волны,
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

В случае точечного источника на свободной поверхности раздела могут образовываться волны Рэлея с цилиндрическим фронтом, расхождение которых гораздо меньше расхождения объемных продольных и поперечных волн. В связи с этим рэлеевские волны имеют значительно большую амплитуду на значительных расстояниях от источника, чем объемные волны, и практически при наблюдении различных динамических процессов (землетрясений, взрывов и т. д.) являются сильными помехами.
Модификации рэлеевских волн — квазиповерхностные волны — могут наблюдаться также на границе между упругими полупространствами или между жидким и упругим полупространством. При этом качественные закономерности у этих волн такие же, как и у рэлеевских.
При отражении от плоской границы раздела сферических волн (либо волн с другим криволинейным фронтом) картина отражения — преломления значительно усложняется. Это связано с различием симметрии фронта и границы раздела.
Для определения коэффициентов отражения сферической волны от плоской границы раздела пользуются разложением с помощью метода Фурье падающей на границу сферической волны на бесконечную сумму элементарных плоских волн (однородных и неоднородных), распространяющихся под разными углами в пределах фронта сферической волны.
Считая, что каждая плоская элементарная волна в данном разложении отражается от границы под своим углом отражения θi с коэффициентом отражения Vi, для плоской волны
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

можно получить выражение для поля отраженной сферической волны, созданной источником, расположенным на расстоянии z0 от границы,
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

где k — волновое число; R1 — расстояние между точкой наблюдения и точкой отражения; В — коэффициент.
При условии
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

второй член значительно меньше первого и можно считать, что в этом случае сферическая волна отражается зеркально от границы с коэффициентом отражения для плоской волны V(θ0), определенным для угла θ0 зеркального отражения.
Здесь m=ρ1/ρ2, n = C1/C2, z — расстояние между точкой наблюдения и границей.
В случае абсолютно отражающей границы (V=±1) этот закон отражения справедлив при любом значении z. Данное приближение называется приближением геометрической оптики. При определенных условиях его можно применить и для преломленной сферической волны.
Таким образом, при отражении сферической волны от плоской границы раздела коэффициент отражения (а следовательно, и амплитуда отраженной волны) будет зависеть от расстояния между приемником и источником (излучателем), так как при изменении этого расстояния изменяется угол зеркального отражения сферической волны θ0. При выполнении условия на границе раздела n≤1 в случае падения на границу сферической волны возможно образование дополнительных возмущений в виде так называемых головных волн (рис. 17). Так, если расстояние между излучателем и приемником такое, что угол зеркального отражения падающей сферической волны θ0 меньше критического для данной границы, сферическая волна будет отражаться под Действительным углом, и на границе будут выполняться условия непрерывности смещения. Начиная с точки с координатой хk, во второй среде будет распространяться неоднородная скользящая волна со скоростью С2, фронт которой будет перпендикулярен границе раздела. Скорость же следа падающей волны с увеличением расстояния X, углов падения и зеркального отражения будет уменьшаться и, начиная с точки с координатой xk = z0 tg θкр, станет меньше скорости скользящей волны C2, т. е. не будут соблюдаться граничные условия. Это является причиной возникновения в первой среде дополнительного возмущения, проекция фронта которого в рассматриваемой плоскости представляет собой отрезок прямой, один конец которой сливается со сферическим фронтом образовавшей ее скользящей волны, а другой касается сферического фронта отраженной волны. В трехмерной системе координат фронт этой волны конический. В связи с тем, что часть пути данная волна проходит во второй среде в виде скользящей волны с большей скоростью С2, чем скорость отраженной волны, начиная с определенного расстояния, данная волна в случае ее импульсной формы обгонит отраженную волну и начнет первые вступления на сейсмограмме (или осциллограмме). Вследствие этого волна называется головной; ее также называют преломленной, боковой, конической. На значительных расстояниях от источника амплитуда головной волны обратно пропорциональна квадрату расстояния между излучателем и приемником, в связи с чем ее амплитуда значительно меньше, чем амплитуды прямой и отраженной волн.
Б связи с тем, что часть пути головная волна проходит во второй среде в виде скользящей волны, она несет информацию как о границе, так и о второй среде. Кроме того, эта волна не маскируется (вследствие выхода ее в первые вступления) другими волнами. Все это служит причиной использования головных волн в наиболее распространенном методе преломленных волн, при решении многих задач как сейсморазведки, так и геоакустики.
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

На границе раздела между упругими средами возможно образование целой серии головных волн как продольных, так и поперечных, которые могут служить дополнительными источниками информации об исследуемом массиве горных пород.
Отражение упругих плоских волн при падении на криволинейную неровную (диффузную или шероховатую) границу раздела двух сред имеет свои особенности. В этом случае упругая волна может рассеиваться в различных направлениях или отражаться как от плоской гладкой поверхности в зависимости от соотношения высоты неровностей hн, длины волны λ и угла θ падения волны на граничную поверхность (рис. 18). Приближенное отнесение поверхности раздела сред к гладкой или шероховатой (неровной) можно производить с помощью критерия Рэлея, который записывается в виде
Отражение и преломление упругих волн на границах раздела

Анализ критерия Рэлея показывает, что в случае hн/λ→0 и θ→π/2 отражение от поверхности носит зеркальный характер. В противном случае будет происходить рассеяние, при определенных условиях приближаясь к диффузному.
В геофизике иногда считают, что поверхность может быть отнесена условно к зеркальной, если размеры ее неровностей не превышают отношения λ/20.
Для количественного описания рассеяния упругой волны на неровной поверхности произвольной формы имеются только приближенные решения.
Знание коэффициентов преломления и отражения от границ раздела упругих сред и закономерностей отражения — преломления упругих волн на этих границах необходимо при решении многих практических задач: обнаружении этих границ, использовании в различных сложных расчетах при интерпретации результатов сейсмических, геофизических и геоакустических измерений.
Добавлено Serxio 21-03-2017, 13:21 Просмотров: 3 053
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent