Основные характеристики волнового процесса
|
В гармонической волне колебания частиц происходят по закону синуса (или косинуса). Для случая упругой волны смещение частицы среды в определенный момент времени можно записать, преобразуя формулу (1.3):  Выражение 2πf(t—х/С) называется фазой φ волны. Разность фаз в двух точках х2 и х1  т.е. в точках, отстоящих друг от друга на целое число волн, равно 2π (колебания протекают в фазе). Если точки отстоят друг от друга на нечетное число полуволн, то разность фаз определяется как (2N—1)π, где N=l. В этом случае колебания в данных точках происходят в противофазе. Фазовая скорость распространения упругой волны С соответствует скорости перемещения фазы в гармонической волне. Понятие фазовой скорости применяется, когда форма волны при ее распространении не изменяется. При наличии дисперсии (зависимости скорости от частоты) негармонические волны изменяют свою форму. В этом случае вводят понятие групповой скорости. Групповая скорость Cгp равна скорости перемещения энергии в волне. Связь между фазовой и групповой скоростями записывается следующим соотношением:  При отсутствии дисперсии групповая скорость равна фазовой скорости волн. Понятие групповой скорости особенно важно в средах с большой дисперсией. Волна, распространяющаяся в одном направлении, называется бегущей и характеризуется показателем k — волновым числом:  При наличии препятствия на пути распространения колебаний возникает сложение двух бегущих волн: прямой и отраженной, имеющих одинаковые частоту и амплитуду колебаний. Характерным признаком стоячей волны является образование точек, в которых колебания частиц минимальны или максимальны. Такие точки называют соответственно узлами и пучностями. Расстояние между узлами или пучностями соответствует половине длины волны. Особенностью стоячей волны является отсутствие переноса энергии, так как обе бегущие волны переносят одинаковую энергию в противоположных направлениях. В результате сложения двух колебаний возникает новое колебание. Так, при сложении двух колебаний гармонического вида одинакового периода также образуется гармоническое колебание той же частоты, но с другой амплитудой uΣ и начальной фазой:  U0 — суммарная максимальная амплитуда смещения; φ0 —суммарная начальная фаза; U1 и U2 — максимальные амплитуды смещения для первого и второго колебаний; φ1 и φ2 — начальные фазы колебаний. При сложении гармонических колебаний различной частоты, амплитуды и начальной фазы суммарное колебание будет представлять собой уже колебание некоторого периодического или непериодического вида. Способы представления произвольной периодической функции с помощью простых гармонических подробно рассматриваются в теории тригонометрических рядов (рядов Фурье), т. е. любое периодическое колебание разлагается на простые гармонические колебания, частоты которых будут кратными частоте заданного периодического колебания. Изображение периодической функции как суммы гармонических колебаний называется спектральным разложением этой функции. Под спектром колебаний понимается совокупность простых гармонических колебаний, на которые можно разложить сложное колебательное движение. Если колебательное движение имеет периодический характер, то его можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда гармонических функций (ряд Фурье) с частотами, кратными основной частоте. В случае непериодических процессов, ограниченных во времени, колебательное движение можно представить в виде сплошного спектра, Т. е. непрерывного множества гармонических составляющих (интеграл Фурье). Непериодическая функция F(t, r) разлагается при определенных условиях в интеграл Фурье  и называется плотностью спектра амплитуд. Форма и спектры [S(f)] некоторых колебательных процессов в виде гармонических (синусоидальных), периодических и импульсных колебаний показаны на рис. 1. Импульсы и их спектры, имеющие большое распространение в геоакустике и сейсмике, представлены на рис. 2, где а — импульс Берлаге, б — импульс в виде затухающей синусоиды.  В практике геоакустики и сейсморазведки используют комплекс характеристик упругих волн: кинематические и динамические. К кинематическим характеристикам относят времена пробега упругих волн разных типов (продольных, поперечных, поверхностных) и определяемые по ним скорости распространения волн. Часто для оценки кинематических характеристик используют годографы, выражающие зависимость времени вступления (или фазы) регистрируемой волны от координат точек наблюдения (действительных или мнимых).  Динамические характеристики упругих волн представляют собой совокупность зависимостей, определяющих характер колебаний частиц среды во времени и пространстве при распространении волн. К ним относятся: форма волны, т. е. зависимость величины смещения частиц среды от времени; спектры волн (амплитудные и фазовые); амплитуды волн; траектории движения частиц среды в пространстве или характер поляризации волны. Кратковременное воздействие внешнего тела на массив горных пород можно характеризовать как ударный процесс. Ударные процессы разделяют на одиночные (простой и сложный), многократные и комплексные. Одиночные и многократные ударные процессы могут воздействовать на объект в горизонтальной, вертикальной или наклонной плоскости. Комплексные ударные процессы оказывают воздействие в нескольких плоскостях одновременно. Основными физическими величинами, характеризующими ударный процесс, являются ускорение и скорость, смещение и деформация рассматриваемой точки среды при ударном воздействии. Взаимосвязь смещения, скорости и ускорения определяется соотношениями кинематики поступательного движения. Кроме этих параметров ударный процесс характеризуется ударным спектром, представляющим собой отклик на данное ударное воздействие. Форма ударного импульса может быть определена по формуле (1.12). Существует аналогия между данной функцией и средней квадратической спектральной плотности для стационарного волнового процесса. Преобразование Фурье ударной временной функции: для синусоидального импульса  На рис. 3 показаны форма импульсов, их частотные спектры и спектры типовых ударов. Штриховой линией на графиках спектров показаны текущие ударные спектры, а сплошными линиями — ударные спектры последействия. Особенностью ударных импульсов является то, что они содержат энергию во всей полосе частот от нуля до бесконечности, их частотные спектры непрерывны, без дискретных частотных составляющих. Величины спектров при низких частотах равны площади ударного импульса независимо от его формы, т. е. при длительности ударного импульса меньше периода собственных колебаний возбуждаемой системы воздействие импульсf на нее определяется площадью ударного импульса. Частотный S(f) и ударный Фуд(f) спектры связаны определенным соотношением.  |
