Стереографическая проекция
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Стереографическая проекция

Стереографическая проекция



Стереографическая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Определение

Точка N {displaystyle N} (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости Π {displaystyle Pi } . Через каждую точку x ≠ N {displaystyle x eq N} сферы проходит единственная прямая D {displaystyle D} , соединяющая N {displaystyle N} и x {displaystyle x} . Прямая D {displaystyle D} пересекает плоскость в единственной точке X {displaystyle X} , которая, таким образом, является образом точки x {displaystyle x} при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой N {displaystyle N} на плоскость Π {displaystyle Pi } .

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки N {displaystyle N} . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом ∞ {displaystyle infty } . Плоскость, дополненная элементом ∞ {displaystyle infty } , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза x → N {displaystyle x o N} его образ X → ∞ {displaystyle X o infty } .

Свойства

  • Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции N {displaystyle N} .
  • Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
  • Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой C P 1 {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{1}} на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем R {displaystyle mathbb {R} } ) вещественную плоскость с координатами x , y {displaystyle x,y} как одномерную (над полем C {displaystyle mathbb {C} } ) прямую комплексного переменного z = x + i y {displaystyle z=x+iy} .
  • Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости, подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.

Приложения

В фотографии

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

История

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Вариации и обобщения

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и E — гиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки PSn − {Q} является точка P′ пересечения линии Q P ¯ {displaystyle scriptstyle {overline {QP}}} с E.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.


Добавлено Admin 8-11-2021, 17:01 Просмотров: 14
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent