Симметрическая группа
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Симметрическая группа

Симметрическая группа



Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества X {displaystyle X} (то есть биекций X → X {displaystyle X o X} ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества X {displaystyle X} обычно обозначается S ( X ) {displaystyle S(X)} , если X = { 1 , 2 , . . . , n } {displaystyle X={1,2,...,n}} , то S ( X ) {displaystyle S(X)} также обозначается через S n {displaystyle S_{n}} . Поскольку для равномощных множеств ( | X | = | Y | {displaystyle |X|=|Y|} ) изоморфны и их группы перестановок ( S ( X ) ≅ S ( Y ) {displaystyle S(X)cong S(Y)} ), потому для конечной группы порядка n {displaystyle n} группу её перестановок отождествляют с S n {displaystyle S_{n}} .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка i d ( x ) = x {displaystyle mathrm {id} (x)=x} .

Группы перестановок

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества X {displaystyle X} называют подгруппы симметрической группы S ( X ) {displaystyle S(X)} . Степенью группы в таком случае называется мощность X {displaystyle X} .

Каждая конечная группа G {displaystyle G} изоморфна некоторой подгруппе группы S ( G ) {displaystyle S(G)} (теорема Кэли).

Свойства

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: | S n | = n ! {displaystyle |S_{n}|=n!} . При n ⩾ 3 {displaystyle ngeqslant 3} симметрическая группа S n {displaystyle S_{n}} некоммутативна.

Симметрическая группа S n {displaystyle S_{n}} допускает следующее задание:

⟨ σ 1 , σ 2 , … , σ n − 1 | σ i 2 , ( σ i σ i + 1 ) 3 , σ i σ j = σ j σ i   if   | i − j | > 1 ⟩ {displaystyle langle sigma _{1},sigma _{2},dots ,sigma _{n-1}|sigma _{i}^{2},(sigma _{i}sigma _{i+1})^{3},sigma _{i}sigma _{j}=sigma _{j}sigma _{i} { ext{if}} |i-j|>1 angle } .

Можно считать, что σ i {displaystyle sigma _{i}} переставляет i {displaystyle i} и i + 1 {displaystyle i+1} . Максимальный порядок элементов группы S n {displaystyle S_{n}} — функция Ландау.

Группы S 1 , S 2 , S 3 , S 4 {displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}} разрешимы, при n ⩾ 5 {displaystyle ngeqslant 5} симметрическая группа S n {displaystyle S_{n}} является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае n = 6 {displaystyle n=6} группа S 6 {displaystyle S_{6}} имеет ещё один внешний автоморфизм. В силу этого и предыдущего свойства при n ⩾ 3 , n ≠ 6 {displaystyle ngeqslant 3,n eq 6} все автоморфизмы S n {displaystyle S_{n}} являются внутренними, то есть каждый автоморфизм α ( x ) {displaystyle alpha (x)} имеет вид g − 1 x g {displaystyle g^{-1}xg} для некоторого g ∈ S n {displaystyle gin S_{n}} .

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы S n {displaystyle S_{n}} равно числу разбиений числа n {displaystyle n} . Множество транспозиций ( 12 ) , ( 23 ) , . . . , ( n − 1   n ) {displaystyle (12),(23),...,(n-1 n)} является порождающим множеством S n {displaystyle S_{n}} . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками ( 12 ) , ( 12... n ) {displaystyle (12),(12...n)} , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при n ⩾ 3 {displaystyle ngeqslant 3} . Коммутантом S n {displaystyle S_{n}} является знакопеременная группа A n {displaystyle A_{n}} ; причём при n ≠ 4 {displaystyle n eq 4} A n {displaystyle A_{n}} — единственная нетривиальная нормальная подгруппа S n {displaystyle S_{n}} , а S 4 {displaystyle S_{4}} имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представления

Любая подгруппа G {displaystyle G} группы перестановок S n {displaystyle S_{n}} представима группой матриц из S L ( n , Z ) {displaystyle SL(n,mathbb {Z} )} , при этом каждой перестановке π : i → π ( i ) {displaystyle pi :i o pi (i)} соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках ( i , π ( i ) ) {displaystyle (i,pi (i))} равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка ( 231 ) {displaystyle (231)} представляется следующей матрицей 3 × 3 {displaystyle 3 imes 3} :

( 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&1&0&0&11&0&0end{pmatrix}}}

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе A n {displaystyle A_{n}} .

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна S 5 {displaystyle S_{5}} , а группа вращений куба изоморфна S 4 {displaystyle S_{4}} .


Добавлено Admin 4-06-2021, 22:00 Просмотров: 23
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent