Центроид треугольника
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Центроид треугольника

Центроид треугольника



Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой M {displaystyle M} . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Свойства

  • Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
  • Если M {displaystyle M} — центроид треугольника A B C {displaystyle ABC} то для любой точки O {displaystyle O} верно равенство O M → = 1 3 ( O A → + O B → + O C → ) {displaystyle {overrightarrow {OM}}={frac {1}{3}}({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}}+{overrightarrow {OC}})} .
  • Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
  • Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
  • Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
  • При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
  • Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
  • Пусть A B C {displaystyle ABC} — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника A B C {displaystyle ABC} , называется окружностью Парри треугольника A B C {displaystyle ABC} .
  • Три чевианы, проведённые через произвольную точку O {displaystyle O} внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка O {displaystyle O} совпадает с центроидом.
  • Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:
A B 2 + B C 2 + C A 2 = 3 ( G A 2 + G B 2 + G C 2 ) {displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})} .
  • Пусть q a {displaystyle q_{a}} , q b {displaystyle q_{b}} и q c {displaystyle q_{c}} — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными a {displaystyle a} , b {displaystyle b} и c {displaystyle c} . Тогда
q a q b = b a , q b q c = c b , q a q c = c a {displaystyle {frac {q_{a}}{q_{b}}}={frac {b}{a}},quad {frac {q_{b}}{q_{c}}}={frac {c}{b}},quad {frac {q_{a}}{q_{c}}}={frac {c}{a}}} и q a ⋅ a = q b ⋅ b = q c ⋅ c = 2 3 S {displaystyle q_{a}cdot a=q_{b}cdot b=q_{c}cdot c={frac {2}{3}}S} , где S {displaystyle S} — площадь треугольника.

История

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике

  • Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.
  • Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности.
  • У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле
P G a = 4 3 P G v . {displaystyle PG_{a}={ frac {4}{3}}PG_{v}.}
Добавлено Admin 1-04-2021, 16:00 Просмотров: 9
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent