Точка округления
Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика) ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны. Название «омбилика» происходит от французского «ombilic», которое, в свою очередь, происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп». СвойстваВ точке округления:
ПримерыВ евклидовом пространстве с метрикой d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 {displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}} :
Гипотеза КаратеодориКаратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая. ОбобщениеПусть M {displaystyle M} ― гладкое многообразие произвольной размерности n ≥ 2 {displaystyle ngeq 2} в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке x ∈ M {displaystyle xin M} определены n {displaystyle n} собственных значений λ 1 , … , λ n {displaystyle lambda _{1},ldots ,lambda _{n}} пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении T M {displaystyle TM} . Точка x ∈ M {displaystyle xin M} называется омбиликой, если в ней набор λ 1 , … , λ n {displaystyle lambda _{1},ldots ,lambda _{n}} содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задается на M {displaystyle M} двумя независимыми уравнениями. Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы ( dim = 2 − 2 = 0 {displaystyle dim =2-2=0} ), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ( dim = 3 − 2 = 1 {displaystyle dim =3-2=1} ). |