Точка округления
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Точка округления

Точка округления



Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика) ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Название «омбилика» происходит от французского «ombilic», которое, в свою очередь, происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп».

Свойства

В точке округления:

  • главные кривизны поверхности совпадают.
  • Первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны.
  • любое касательное направление является главным направлением.
  • Соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения.
  • Индикатриса Дюпена является окружностью.
  • Сеть линий кривизны (то есть линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность.
  • Любая точка округления является либо эллиптической точкой поверхности (если главные кривизны не равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна поверхности в данной точке положительная), либо так называемой плоской точкой округления (если главные кривизны равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности в данной точке равны нулю). В первом случае в малой окрестности точки округления поверхность похожа на сферу, а во втором — на плоскость.

Примеры

В евклидовом пространстве с метрикой d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 {displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}} :

  • Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
  • Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон».
  • Плоскость целиком состоит из плоских точек округления.
  • Обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат.

Гипотеза Каратеодори

Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая.

Обобщение

Пусть M {displaystyle M} ― гладкое многообразие произвольной размерности n ≥ 2 {displaystyle ngeq 2} в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке x ∈ M {displaystyle xin M} определены n {displaystyle n} собственных значений λ 1 , … , λ n {displaystyle lambda _{1},ldots ,lambda _{n}} пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении T M {displaystyle TM} . Точка x ∈ M {displaystyle xin M} называется омбиликой, если в ней набор λ 1 , … , λ n {displaystyle lambda _{1},ldots ,lambda _{n}} содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задается на M {displaystyle M} двумя независимыми уравнениями. Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы ( dim = 2 − 2 = 0 {displaystyle dim =2-2=0} ), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ( dim = 3 − 2 = 1 {displaystyle dim =3-2=1} ).


Добавлено Admin 27-03-2021, 03:00 Просмотров: 8
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent