Алгебраическая теория чисел
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Алгебраическая теория чисел

Алгебраическая теория чисел



Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств целых элементов числовых полей.

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

x n = z n − y n = ∏ i = 1 n ( z − a i y ) {displaystyle x^{n}=z^{n}-y^{n}=prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}y)} , где a i {displaystyle a_{i}} — корни степени n {displaystyle n} из единицы.

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида z + a i y {displaystyle z+a_{i}y} . Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n {displaystyle n} , то к нему нельзя подойти ближе чем на Q − n {displaystyle Q^{-n}} , приближаясь дробями вида P / Q {displaystyle P/Q} , где P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} — целые взаимно простые числа.

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими.

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп и многое другое.

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).


Добавлено Admin 23-03-2021, 20:00 Просмотров: 26
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent