Неравенство Лоясевича
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Неравенство Лоясевича

Неравенство Лоясевича



Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем (польск. Stanisław Łojasiewicz), дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство нашло применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений .

Формулировка

Пусть функция f : U → R {displaystyle f:U o mathbb {R} } является вещественно аналитической на непустом открытом множестве U ⊂ R n {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} и пусть Z = { x ∈ U : f ( x ) = 0 } {displaystyle Z={xin U:f(x)=0}} — множество нулей функции f {displaystyle f} . Если множество Z {displaystyle Z} непусто, то для любого непустого компакта K ⊂ U {displaystyle Ksubset U} существуют такие константы α ≥ 2 {displaystyle alpha geq 2} и C > 0 {displaystyle C>0} , что имеет место неравенство

inf z ∈ Z | x − z | α ≤ C | f ( x ) |     ∀ x ∈ K , {displaystyle inf _{zin Z}|x-z|^{alpha }leq C|f(x)| forall ,xin K,}

число α {displaystyle alpha } в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки p ∈ U {displaystyle pin U} существует достаточно малая её окрестность W ⊂ U {displaystyle Wsubset U} и такие константы 0 < β < 1 {displaystyle 0<eta <1} и C > 0 {displaystyle C>0} , что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

| f ( x ) − f ( p ) | β ≤ C | ∇ f ( x ) |     ∀ x ∈ W . {displaystyle |f(x)-f(p)|^{eta }leq C| abla f(x)| forall ,xin W.}

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.


Добавлено Admin 22-03-2021, 04:01 Просмотров: 19
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent