Проблема якобиана

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Условия

Рассмотрим набор полиномов f 1 , f 2 , f 3 , . . . f N ∈ C [ X 1 , X 2 , . . . , X N ] {displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},...f_{N}in C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]} (1) (принадлежащих множеству всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных X 1 , X 2 , . . . , X N {displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{N}} ). Предположим, что система уравнений f 1 = b 1 , f 2 = b 2 , . . . , f N = b N {displaystyle f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}} имеет единственное решение ( a 1 , a 2 , . . . , a N ) ∈ C N {displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})in C^{N}} для любого набора ( b 1 , b 2 , . . . , b N ) ∈ C N {displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})in C^{N}} (принадлежащего множеству комплексных чисел), причём существуют такие многочлены g 1 , g 2 , g 3 , . . . g N ∈ C [ X 1 , X 2 , . . . , X N ] {displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}in C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]} , что каждое a i = g i ( b 1 , b 2 , . . . , b N ) {displaystyle a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})} . Предполагается, что многочлены g 1 , g 2 , g 3 , . . . g N {displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}} не зависят от набора свободных членов ( b 1 , b 2 , . . . , b N ) ∈ C N {displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})in C^{N}} . Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из C [ X 1 , X 2 , . . . , X N ] {displaystyle C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]} однозначно представляется в виде многочлена от f 1 , f 2 , f 3 , . . . f N {displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},...f_{N}} (и от g 1 , g 2 , g 3 , . . . g N {displaystyle g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}} ). Система (1) задаёт полиномиальное отображение f : C N → C N {displaystyle f:C^{N} ightarrow C^{N}} , при котором f ( a 1 , . . . , a N ) = ( f 1 ( a 1 , . . . , a N ) , f 2 ( a 1 , . . . , a N ) , . . . , f N ( a 1 , . . . , a N ) ) = ( b 1 , b 2 , . . . , b N ) ∈ C N {displaystyle f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1},...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},...,b_{N})in C^{N}} (2). Отображение f {displaystyle f} является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение f − 1 {displaystyle f^{-1}} , переводящее ( b 1 , b 2 , . . . , b N ) ∈ C N {displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})in C^{N}} в f − 1 ( b 1 , . . . , b N ) = ( g 1 ( b 1 , . . . , b N ) , g 2 ( b 1 , . . . , b N ) , . . . , g N ( b 1 , . . . , b N ) ) = ( a 1 , a 2 , . . . , a N ) ∈ C N {displaystyle f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2}(b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2},...,a_{N})in C^{N}} также является полиномиальным. Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения f {displaystyle f} ) J ( f ) {displaystyle J(f)} размера N {displaystyle N} , в которой на месте ( i , j ) {displaystyle (i,j)} стоит частная производная ∂ f i / ∂ X J {displaystyle partial f_{i}/partial X_{J}} . Зададим другое полиномиальное отображение h : C N → C N {displaystyle h:C^{N} ightarrow C^{N}} и f h {displaystyle fh} — их композиция (произведение). J ( f h ) = J ( f ) J ( h ) {displaystyle J(fh)=J(f)J(h)} . Вычисляя определители, получаем, что det ( J ( f h ) ) = det ( J ( f ) ) det ( J ( h ) ) {displaystyle det(J(fh))=det(J(f))det(J(h))} . В частности, если заданы полиномиальные отображения f {displaystyle f} и f − 1 {displaystyle f^{-1}} , то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица E = J ( f h ) = J ( f ) J ( h ) {displaystyle E=J(fh)=J(f)J(h)} , и, следовательно, det ( J ( f ) ) {displaystyle det(J(f))} является ненулевой константой.

Формулировка

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение f {displaystyle f} вида (2), причем det ( J ( f ) ) {displaystyle det(J(f))} является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из C [ X 1 , X 2 , . . . , X N ] {displaystyle C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]} в виде многочлена от f 1 , f 2 , . . . , f n {displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}} ?

Результаты

Проблема решена для случая, когда N = 2 {displaystyle N=2} и степени f 1 , f 2 {displaystyle f_{1},f_{2}} не выше 150, а также если N {displaystyle N} любое, но степени всех многочленов f 1 , f 2 , . . . , f N {displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{N}} не выше 2. Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно доказать его для случая, когда каждое f i {displaystyle f_{i}} является многочленом степени не выше 3.