Специальная унитарная группа
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Специальная унитарная группа

Специальная унитарная группа



Специальная унитарная группа — группа унитарных матриц заданного порядка с определителем, равным 1, и произведением матриц как групповой операцией; для матриц размером n × n {displaystyle n imes n} обозначается S U ( n ) {displaystyle mathrm {SU} (n)} .

Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы U ( n ) {displaystyle mathrm {U} (n)} , состоящей из всех унитарных матриц n × n {displaystyle n imes n} .

Генераторы

S U ( 2 ) {displaystyle mathrm {SU} (2)}

Для группы S U ( 2 ) {displaystyle mathrm {SU} (2)} генераторы известны как матрицы Паули:

S U ( 3 ) {displaystyle mathrm {SU} (3)}

Аналогом матриц Паули для S U ( 3 ) {displaystyle mathrm {SU} (3)} служат матрицы Гелл-Манна:

Генераторы для S U ( 3 ) {displaystyle mathrm {SU} (3)} определяются как T {displaystyle T} с использованием соотношения:

T a = λ a 2 {displaystyle T_{a}={frac {lambda _{a}}{2}}} .

Они подчиняются следующим соотношениям:

  • [ T a , T b ] = i ∑ c = 1 8 f a b c T c {displaystyle left[T_{a},T_{b} ight]=isum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}} , где f {displaystyle f} — структурная константа, значения которой равны:
f 123 = 1 {displaystyle f_{123}=1} , f 147 = f 165 = f 246 = f 257 = f 345 = f 376 = 1 2 {displaystyle f_{147}=f_{165}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=f_{376}={frac {1}{2}}} , f 458 = f 678 = 3 2 {displaystyle f_{458}=f_{678}={frac {sqrt {3}}{2}}} ;
  • tr ⁡ ( T a ) = 0 {displaystyle operatorname {tr} (T_{a})=0} .

S U ( 4 ) {displaystyle mathrm {SU} (4)}

Эрмитовы матрицы генераторы для S U ( 4 ) {displaystyle mathrm {SU} (4)} , аналогичные матрицам Паули и матрицам Гелл-Манна, имеют вид:

Эти матрицы ортогональны, а также удоволетворяют выражению для следа:

T r ( λ k 2 ) = 2 ; k = 1..15 {displaystyle Tr{(lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15}

и тождеству Якоби:

[ [ λ l , λ k ] , λ j ] + [ [ λ k , λ j ] , λ l ] + [ [ λ j , λ l ] , λ k ] = 0 ; j < k < l ; j , k , l = 1..15 {displaystyle [[lambda _{l},lambda _{k}],lambda _{j}]+[[lambda _{k},lambda _{j}],lambda _{l}]+[[lambda _{j},lambda _{l}],lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15}

При этом коммутатор вычисляется как:

[ λ j , λ k ] = 2 i ∑ m f j k l λ l {displaystyle [lambda _{j},lambda _{k}]=2isum _{m}f_{jkl}lambda _{l}}

Таблица структурных констант f j k l {displaystyle f_{jkl}}

f 1 , 2 , 3 = 1 {displaystyle f_{1,2,3}=1} f 1 , 4 , 7 = f 2 , 4 , 6 = f 2 , 5 , 7 = f 3 , 4 , 5 = f 1 , 9 , 12 = f 2 , 9 , 11 = f 2 , 10 , 12 = f 3 , 9 , 10 = f 4 , 9 , 14 = f 5 , 10 , 14 = f 6 , 11 , 14 = f 7 , 11 , 13 = f 7 , 12 , 14 = 1 2 {displaystyle f_{1,4,7}=f_{2,4,6}=f_{2,5,7}=f_{3,4,5}=f_{1,9,12}=f_{2,9,11}=f_{2,10,12}=f_{3,9,10}=f_{4,9,14}=f_{5,10,14}=f_{6,11,14}=f_{7,11,13}=f_{7,12,14}={frac {1}{2}}} f 1 , 5 , 6 = f 3 , 6 , 7 = f 1 , 10 , 11 = f 3 , 11 , 12 = f 4 , 10 , 13 = f 6 , 12 , 13 = − 1 2 {displaystyle f_{1,5,6}=f_{3,6,7}=f_{1,10,11}=f_{3,11,12}=f_{4,10,13}=f_{6,12,13}=-{frac {1}{2}}} f 4 , 5 , 8 = f 6 , 7 , 8 = f 8 , 9 , 10 = f 8 , 11 , 12 = f 9 , 10 , 15 = f 11 , 12 , 15 = f 13 , 14 , 15 = 3 2 {displaystyle f_{4,5,8}=f_{6,7,8}=f_{8,9,10}=f_{8,11,12}=f_{9,10,15}=f_{11,12,15}=f_{13,14,15}={frac {sqrt {3}}{2}}} f 8 , 13 , 14 = − 3 2 {displaystyle f_{8,13,14}=-{frac {sqrt {3}}{2}}}
Добавлено Admin 18-01-2021, 06:00 Просмотров: 17
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent