Валюация
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Валюация

Валюация



Валюация — обобщение понятия меры обычно определяемое на выпуклых множествах евклидова пространства.

Определение

Пусть K n {displaystyle K^{n}} — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Валюация на K n {displaystyle K^{n}} есть функция v : K n → R {displaystyle v:K^{n} o mathbb {R} } такая, что равенство

v ( S ) + v ( T ) = v ( S ∩ T ) + v ( S ∪ T ) {displaystyle v(S)+v(T)=v(Scap T)+v(Scup T)}

выполняется для любых S , T ∈ K n {displaystyle S,Tin K^{n}} таких, что S ∪ T ∈ K n {displaystyle Scup Tin K^{n}} ,

Замечания

  • Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
  • Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого S ∈ K n {displaystyle Sin K^{n}} выполняется v ( S ) = v ( ϕ ( S ) ) {displaystyle v(S)=v(phi (S))}

Примеры

Средняя поперечная мера

k {displaystyle k} -ая средняя поредняя поперечная мера W k ( S ) {displaystyle W_{k}(S)} тела S ∈ K n {displaystyle Sin K^{n}} определяется как средняя k {displaystyle k} -мерная площадь проекций S {displaystyle S} на k {displaystyle k} -мерные плоскости.

В частности,

  • W n ( S ) {displaystyle W_{n}(S)} — объём S {displaystyle S} ,
  • W n − 1 ( S ) {displaystyle W_{n-1}(S)} — пропорциональна площади поверхности S {displaystyle S} .
  • W k ( λ ⋅ S ) = | λ | k ⋅ W k ( S ) {displaystyle W_{k}(lambda cdot S)=|lambda |^{k}cdot W_{k}(S)}
Валюация Дирака

Валюация Дирака δ x {displaystyle delta _{x}} точки x {displaystyle x} определяется как

δ x ( U ) = { 0 если   x ∉ U 1 если   x ∈ U {displaystyle delta _{x}(U)={egin{cases}0&{ ext{если}}~x otin U1&{ ext{если}}~xin Uend{cases}}}

Свойства

  • Теорема Хадвигера: любая непрерывная валюация, инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде линейной комбинации поперечных мер.
  • Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и S L ( n , Z ) {displaystyle mathrm {SL} (n,mathbb {Z} )} , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.

Добавлено Admin 25-12-2020, 11:00 Просмотров: 40
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent