Схема Бернулли
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Схема Бернулли

Схема Бернулли



Проводятся n {displaystyle n} опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью p {displaystyle p} (или не произойти — «неудача» — с вероятностью q = 1 − p {displaystyle q=1-p} ). Задача — найти вероятность получения ровно m {displaystyle m} успехов в этих n {displaystyle n} опытах.

Решение:

P n ( m ) = C n m p m ( 1 − p ) n − m {displaystyle P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}} (формула Бернулли).

Количество успехов — величина случайная, которая имеет биномиальное распределение.

Определение

Для применения схемы Бернулли должны быть выполнены следующие условия:

  • Каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей.
  • Независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов.
  • Вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний.

Рассмотрим стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0». Пусть вероятность успеха 0 < p < 1 {displaystyle 0<p<1} , тогда вероятность неудачи 1 − p = q {displaystyle 1-p=q} .

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в n {displaystyle n} -кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий Ω {displaystyle Omega } , которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет { Ω = ( a 1 , . . . , a n ) | a i = 0 , 1 ¯ , i = 1 , n ¯ } {displaystyle left{Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}={overline {0,1}},i={overline {1,n}} ight brace } (1), N ( Ω ) = 2 n {displaystyle N(Omega )=2^{n}} . За σ {displaystyle sigma } -алгебру событий A {displaystyle {mathcal {A}}} возьмём булеан пространства элементарных событий P ( Ω ) {displaystyle P(Omega )} (2). Каждому элементарному событию ω ∈ Ω {displaystyle omega in Omega } поставим в соответствие число p ( ω ) = p ∑ i = 1 n a i q n − ∑ i = 1 n a i {displaystyle p(omega )=p^{sum _{i=1}^{n}a_{i}}q^{n-sum _{i=1}^{n}a_{i}}} . Если в элементарном событии ω {displaystyle omega } успех наблюдается k {displaystyle k} раз, а неудача — ( n − k ) {displaystyle (n-k)} раз, то p ( ω ) = p k q n − k {displaystyle p(omega )=p^{k}q^{n-k}} . Пусть A k = { ω ∈ Ω | ∑ i = 1 n a i = k } , k = 0 , n ¯ {displaystyle A_{k}={omega in Omega |sum _{i=1}^{n}a_{i}=k},k={overline {0,n}}} , тогда P ( A k ) = ∑ ω ∈ A k P ( ω ) = C n k p k q n − k {displaystyle P(A_{k})=sum _{omega in A_{k}}P(omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}} . Также является очевидной нормированность вероятности: ∑ ω ∈ Ω P ( ω ) = ∑ k = 0 n ∑ ω ∈ A k P ( ω ) = ∑ k = 0 n C n k p k q n − k = ( p + q ) n = 1 n = 1 {displaystyle sum _{omega in Omega }P(omega )=sum _{k=0}^{n}sum _{omega in A_{k}}P(omega )=sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1} .

Поставив в соответствие каждому событию A ∈ A {displaystyle Ain {mathcal {A}}} числовое значение P ( A ) = ∑ ω ∈ A P ( ω ) {displaystyle P(A)=sum _{omega in A}P(omega )} (3), мы найдём вероятность P : A → R {displaystyle P:{mathcal {A}} o mathbb {R} } . Построенное пространство ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)} , где Ω {displaystyle Omega } — пространство элементарных событий, определённое равенством (1), A {displaystyle {mathcal {A}}} — σ {displaystyle sigma } -алгебра, определённая равенством (2), P — вероятность, определённая равенством (3), называется схемой Бернулли для n {displaystyle n} испытаний.

Набор чисел P n ( k ) = C n k p k q n − k , k = 0 , n ¯ , n ∈ N {displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k={overline {0,n}},nin mathbb {N} } называется биномиальным распределением.

Обобщение (полиномиальная схема)

Обычная формула Бернулли применима на случай, когда при каждом испытании возможно одно из двух событий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из k > 2 {displaystyle k>2} событий с вероятностью p i ( i = 1 , 2 , . . . , k ) {displaystyle p_{i}(i=1,2,...,k)} , где p 1 + . . . + p k = 1 {displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1} . Вероятность появления m 1 {displaystyle m_{1}} раз первого события и m 2 {displaystyle m_{2}} — второго и m k {displaystyle m_{k}} раз k-го находится по формуле:

P n ( m 1 , m 2 , . . . , m k ) = n ! m 1 ! m 2 ! . . . m k ! p 1 m 1 p 2 m 2 . . . p k m k {displaystyle P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k}!}}{p_{1}}^{m_{1}}{p_{2}}^{m_{2}}...{p_{k}}^{m_{k}}} ,

где n = m 1 + m 2 + . . . + m k . {displaystyle n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.}

Теоремы

В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра — Лапласа, интегральная теорема Муавра — Лапласа.


Добавлено Admin 18-12-2020, 15:20 Просмотров: 8
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent