Мера множества
Мера множества — неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объём) множества. Собственно, мера — это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера как функция должна также обладать свойством аддитивности — мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо — для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует. Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , обобщающая понятие объёма ( n = 3 ) {displaystyle (n=3)} , площади ( n = 2 ) {displaystyle (n=2)} или длины ( n = 1 ) {displaystyle (n=1)} на случай множеств, более общих, чем просто ограниченные гладкой поверхностью. ОпределенияПусть задано множество X {displaystyle X} с некоторым выделенным классом подмножеств F {displaystyle {mathcal {F}}} , предполагается, что данный класс подмножеств является иногда кольцом множеств или алгеброй множеств, в наиболее общем случае — полукольцом множеств. Функция μ : F → [ 0 , ∞ ] {displaystyle mu colon {mathcal {F}} o [0,;infty ]} называется мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам: Первая аксиома является удобной, но в некотором смысле избыточной: достаточно предположить что существует хотя бы одно множество с конечной мерой, из чего будет следовать, что мера пустого множества будет равна нулю (в противном случае добавление к любому множеству конечной меры пустого множества изменило бы меру, несмотря на то, что множество не изменилось). Непосредственно из второй аксиомы (в случае кольца множеств) следует, что мера объединения любого конечного числа непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств: μ ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n μ ( A i ) {displaystyle mu left(igcup limits _{i=1}^{n}A_{i} ight)=sum limits _{i=1}^{n}mu (A_{i})} .В случае определения над полукольцом множеств, данное свойство конечной аддитивности обычно принимается вместо второй аксиомы, так как из попарной аддитивности конечная аддитивность в общем случае не следует. Счётно-аддитивная мераИз (конечной) аддитивности меры в общем случае не следует, что аналогичное свойство выполнено и для счётного объединения непересекающихся множеств. Выделяют специальный важный класс мер, называемых счётно-аддитивными мерами. Пусть задано множество X {displaystyle X} с выделенной σ {displaystyle sigma } -алгеброй F {displaystyle {mathcal {F}}} . Функция μ : F → [ 0 , ∞ ] {displaystyle mu colon {mathcal {F}} o [0,;infty ]} называется счётно-аддитивной (или σ {displaystyle sigma } -аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам: Замечания
Связанные определения
СвойстваИз определения следует, что мера обладает как минимум следующими свойствами (предполагается, что мера задана как минимум на полукольце множеств):
Свойства счётно-аддитивных мерСчётно-аддитивные меры, в дополнение к указанным, обладают также следующими свойствами.
Примеры
Продолжение мерОпределять меру в явном виде на каждом множестве из соответствующей сигма-алгебры (кольца или алгебры) множеств зачастую сложно и не нужно, поскольку меру достаточно определить на каком-нибудь классе измеримых множеств, а затем с помощью стандартных процедур (и при известных условиях) продолжить на кольцо, алгебру или сигма-алгебру множеств, порождённые этим классом. Продолжение с полукольцаКласс измеримых множеств по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или сигма-алгеброй множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо. Пусть начальный класс измеримых множеств F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} , то есть найдётся конечный набор непересекающихся множеств C 1 , C 2 , . . . , C n {displaystyle C_{1},C_{2},...,C_{n}} из F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} , таких что A ∖ B = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C n {displaystyle Asetminus B=C_{1}cup C_{2}cup dots cup C_{n}} .Пусть F {displaystyle {mathcal {F}}} означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} . Класс F {displaystyle {mathcal {F}}} замкнут относительно операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция μ {displaystyle mu } на F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} однозначно продолжается до аддитивной функции на F {displaystyle {mathcal {F}}} , тогда и только тогда, когда её значения согласованы на F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} . Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств A 1 , A 2 , . . . , A n {displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}} и B 1 , B 2 , . . . , B m {displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{m}} из F 0 {displaystyle {mathcal {F}}_{0}} , если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер: Если ⋃ i = 1 n A i = ⋃ j = 1 m B j {displaystyle igcup limits _{i=1}^{n}A_{i}=igcup limits _{j=1}^{m}B_{j}} , то ∑ i = 1 n μ ( A i ) = ∑ j = 1 m μ ( B j ) {displaystyle sum limits _{i=1}^{n}mu (A_{i})=sum limits _{j=1}^{m}mu (B_{j})} .ПримерПусть F 1 {displaystyle {mathcal {F}}_{1}} и F 2 {displaystyle {mathcal {F}}_{2}} — классы измеримых множеств на пространствах X 1 {displaystyle X_{1}} и X 2 {displaystyle X_{2}} , имеющие структуру полукольца. Множества вида A × B {displaystyle A imes B} , где A ∈ F 1 {displaystyle Ain {mathcal {F}}_{1}} , B ∈ F 2 {displaystyle Bin {mathcal {F}}_{2}} образуют полукольцо F {displaystyle {mathcal {F}}} множеств на пространстве X = X 1 × X 2 {displaystyle X=X_{1} imes X_{2}} . Если на F 1 {displaystyle {mathcal {F}}_{1}} и F 2 {displaystyle {mathcal {F}}_{2}} заданы меры μ 1 {displaystyle mu _{1}} и μ 2 {displaystyle mu _{2}} , то на F {displaystyle {mathcal {F}}} определена аддитивная функция μ ( A × B ) = μ 1 ( A ) μ 2 ( B ) {displaystyle mu (A imes B)=mu _{1}(A)mu _{2}(B)} , удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее F {displaystyle {mathcal {F}}} , называется прямым произведением мер μ 1 {displaystyle mu _{1}} и μ 2 {displaystyle mu _{2}} и обозначается μ = μ 1 ⊗ μ 2 {displaystyle mu =mu _{1}otimes mu _{2}} . Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера μ {displaystyle mu } будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри Теорема Фубини). Вариации и обобщения
|