Несократимая дробь
В математике, несократимая дробь (также приведённая дробь) — дробь, которую невозможно сократить. Иначе говоря, значение несократимой дроби не допускает более простое представление в виде дроби. В случае обыкновенных дробей «более простое» означает: с меньшим (но натуральным) знаменателем. Обыкновенные дробиКаждое рациональное число обладает одним и только одним представлением в виде несократимой дроби p q , {displaystyle {frac {p}{q}} ,}где p — целое число, а q — натуральное. Если разрешить целые знаменатели любого знака, то возможно второе несократимое представление − p − q = p q {displaystyle {frac {-p}{-q}}={frac {p}{q}}}(то есть, числитель и знаменатель несократимой дроби можно одновременно умножать на −1), но все остальные представления рационального числа в виде частного двух целых чисел будут сократимы. Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты. ПримерыДля целого числа n представлением в виде несократимой дроби является n = n 1 {displaystyle n={frac {n}{1}} }Для полуцелого числа n + 1⁄2 представлением в виде несократимой дроби является n + 1 2 = 2 n + 1 2 . {displaystyle n+{frac {1}{2}}={frac {2n+1}{2}} .}Дробь 4 15 {displaystyle {frac {4}{15}}}несократима, хотя и числитель (4 = 2 × 2), и знаменатель (15 = 3 × 5) являются составными числами. Левая часть равенства 119 21 = 17 3 {displaystyle {frac {119}{21}}={frac {17}{3}}}сократима, т.к. и 119, и 21 делятся на 7. Правая часть — несократимая дробь, т.к. числитель и знаменатель являются различными простыми числами. Обобщение для произвольных колецСвойства несократимости, изложенные для обыкновенных дробей, сохраняются для факториальных колец с заменой множества чисел {1, −1} на группу обратимых элементов кольца. Над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное с точностью до обратимых элементов представление в виде несократимой дроби. |