Войти  |  Регистрация
Авторизация

LC-осциллятор



LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединенных емкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость g = d i / d u {displaystyle {g=di/du}} в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид

d 2 u d t 2 + g ( u ) C d u d t + 1 L C u = 0 , ( 1 ) {displaystyle {frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{frac {g(u)}{C}}{frac {du}{dt}}+{frac {1}{LC}}u=0,quad (1)}

Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращенным полиномом третьего порядка i ( u ) = a 1 u + a 3 u 3 {displaystyle i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3}} , то при отрицательном коэффициенте a 1 {displaystyle a_{1}} , положительном a 3 {displaystyle a_{3}} и численном равенстве a 1 = − a 3 {displaystyle a_{1}=-a_{3}} уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке U 0 {displaystyle U_{0}} таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражением

g ( u ) = { k G , u ≥ U 0 ; − G , u < U 0 , {displaystyle g(u)=left{{egin{matrix}kG,&ugeq U_{0};-G,&u<U_{0},end{matrix}} ight.}

где k {displaystyle k} , G {displaystyle G} и U 0 {displaystyle U_{0}} — положительные константы. При k < 1 {displaystyle k<1} система неустойчива, при k > 1 {displaystyle k>1} и малых G {displaystyle G} в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим. На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при k G < C / L {displaystyle kG<{sqrt {C/L}}} имеет вид:

u ( t ) = { u 1 = ( a 1 sin ⁡ ω 1 t + a 2 cos ⁡ ω 1 t ) e x p ( − δ 1 t ) ; 0 ≤ t < t 1 ; u 2 = ( a 2 sin ⁡ ω 2 t + a 2 cos ⁡ ω 2 t ) e x p ( δ 2 t ) ; t 1 < t ≤ T , {displaystyle u(t)=left{{egin{matrix}u_{1}=(a_{1}sin omega _{1}t+a_{2}cos omega _{1}t)exp{(-delta _{1}t)};quad 0leq t<t_{1};u_{2}=(a_{2}sin omega _{2}t+a_{2}cos omega _{2}t)exp(delta _{2},t);quad ,t_{1}<tleq T,end{matrix}} ight.}

где δ 1 = k G / ( 2 C ) {displaystyle delta _{1}=kG/(2C)} , δ 2 = G / ( 2 C ) {displaystyle delta _{2}=G/(2C)} , ω 1 = 1 / ( L C ) − ( k G / 2 C ) 2 {displaystyle omega _{1}={sqrt {1/(LC)-(kG/2C)^{2}}}} , ω 2 = 1 / ( L C ) − ( G / 2 C ) 2 {displaystyle omega _{2}={sqrt {1/(LC)-(G/2C)^{2}}}} .
Период колебания T {displaystyle T} , момент времени t 1 {displaystyle t_{1}} , служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования a 1 , 2 {displaystyle a_{1,2}} , b 1 , 2 {displaystyle b_{1,2}} определяются из решения системы уравнений

u 1 ( 0 ) = U 0 {displaystyle u_{1}(0)=U_{0}} ; u 1 ( t 1 ) = U 0 {displaystyle u_{1}(t_{1})=U_{0}} ; u 1 ( 0 ) = u 2 ( T ) {displaystyle u_{1}(0)=u_{2}(T)} ; u 1 ( t 1 ) = u 2 ( t 1 ) {displaystyle u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})} ; d u 1 / d t | 0 = d u 2 / d t | T {displaystyle left.{egin{matrix}du_{1}/dtend{matrix}} ight|_{0}=left.{egin{matrix}du_{2}/dtend{matrix}} ight|_{T}} ; d u 1 / d t | t 1 = d u 2 / d t | t 1 {displaystyle left.{egin{matrix}du_{1}/dtend{matrix}} ight|_{t_{1}}=left.{egin{matrix}du_{2}/dtend{matrix}} ight|_{t_{1}}} .

Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при L = 1 {displaystyle L=1} Гн, C = 1 {displaystyle C=1} Ф, G = 0 , 2 {displaystyle G=0,2} См, U 0 = 1 {displaystyle U_{0}=1} B и k = 2 {displaystyle k=2} :

a 1 = 4 , 66464104629771 {displaystyle a_{1}=4,66464104629771} ,B; a 2 = 1 {displaystyle a_{2}=1} ,B; b 1 = 2 , 13803529592679 {displaystyle b_{1}=2,13803529592679} ,B; b 2 = 0 , 0116873463357039 {displaystyle b_{2}=0,0116873463357039} ,B; t 1 = 2 , 78836465601698 {displaystyle t_{1}=2,78836465601698} ,с; T = 6 , 55583946961978 {displaystyle T=6,55583946961978} , с.


В случае G > C / L {displaystyle G>{sqrt {C/L}}} генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности u ( t ) {displaystyle u(t)} и d u / d t {displaystyle du/dt} в точках сшивания t = 0 {displaystyle t=0} , t = t 1 {displaystyle t=t_{1}} и t = T {displaystyle t=T} .


Дифференциальная проводимость g ( u ) {displaystyle g(u)} может быть задана и иным образом.


Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent