Упорядоченная группа
Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом 0 {displaystyle 0} . Вообще говоря, группа может быть не коммутативной. ОпределениеПусть G {displaystyle G} — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ⩽ {displaystyle leqslant } (меньше или равно) со следующими свойствами: Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией: Если все пять аксиом выполнены, то группа G {displaystyle G} называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной. Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа. Связанные определенияДля удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения: Отношение больше или равно: x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} означает, что y ⩽ x {displaystyle yleqslant x} . Отношение больше: x > y {displaystyle x>y} означает, что x ⩾ y {displaystyle xgeqslant y} и x ≠ y {displaystyle x eq y} . Отношение меньше: x < y {displaystyle x<y} означает, что y > x {displaystyle y>x} .Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством. Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок. Подгруппа H {displaystyle H} упорядоченной группы G {displaystyle G} называется выпуклой, если все элементы g ∈ G {displaystyle gin G} , находящиеся между элементами H , {displaystyle H,} принадлежат H . {displaystyle H.} Формальная запись: если h 1 , h 2 ∈ H {displaystyle h_{1},h_{2}in H} и h 1 ⩽ g ⩽ h 2 , {displaystyle h_{1}leqslant gleqslant h_{2},} то g ∈ H . {displaystyle gin H.} Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной. СвойстваНеравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например: Если a < b {displaystyle a<b} и c < d , {displaystyle c<d,} то a + c < b + d {displaystyle a+c<b+d}Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна. АрхимедовостьПорядок в группе называется архимедовым, если для любых a > 0 {displaystyle a>0} и b > 0 {displaystyle b>0} найдётся такое натуральное n , {displaystyle n,} что: a + a + … + a ⏟ n > b {displaystyle underbrace {a+a+ldots +a} _{n}>b}Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна. Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент. Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел. Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп. Положительные и отрицательные элементыЭлементы, большие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если x ⩾ 0 , {displaystyle xgeqslant 0,} то, прибавив − x , {displaystyle -x,} получим, что − x ⩽ 0. {displaystyle -xleqslant 0.} Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль. Обозначим P {displaystyle P} множество неотрицательных элементов. Тогда − P , {displaystyle -P,} то есть множество элементов, противоположных элементам P , {displaystyle P,} содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств. (P1) P {displaystyle P} замкнуто относительно сложения. (P2) − P {displaystyle -P} имеет с P {displaystyle P} ровно один общий элемент — ноль группы: P ∩ ( − P ) = { 0 } . {displaystyle Pcap (-P)={0}.} (P3) ( − g ) + P + g ⊂ P {displaystyle (-g)+P+gsubset P} для любого g ∈ G . {displaystyle gin G.} (P4) P ∪ ( − P ) = G . {displaystyle Pcup (-P)=G.}Конструктивное построение порядкаОдин из способов определить в произвольной группе G {displaystyle G} линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4]. Пусть такое P {displaystyle P} выделено. Определим линейный порядок в G {displaystyle G} следующим образом: x ⩽ y {displaystyle xleqslant y} , если y − x ∈ P {displaystyle y-xin P} (отметим, что из свойства (P3) следует, что если y − x ∈ P , {displaystyle y-xin P,} то и − x + y ∈ P , {displaystyle -x+yin P,} даже если группа не коммутативна).Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры. Абсолютная величинаОпределим абсолютную величину элементов группы: | x | = m a x ( x , − x ) . {displaystyle |x|=max(x,-x).} Здесь функция m a x {displaystyle max} осуществляет выбор наибольшего значения. Свойства абсолютной величины:
Примеры
|