Войти  |  Регистрация
Авторизация

Экспоненциальное распределение



Экспоненциальное (или показательное) распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина X {displaystyle X} имеет экспоненциальное распределение с параметром λ > 0 {displaystyle lambda >0} , если её плотность вероятности имеет вид:

f X ( x ) = { λ e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {displaystyle f_{X}(x)={egin{cases}lambda ,e^{-lambda x},&xgeq 0,,&x<0.end{cases}}} .

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно 1 / λ {displaystyle 1/lambda } . Сам параметр λ {displaystyle lambda } тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины X {displaystyle X} задана первым уравнением, и будем писать: X ∼ E x p ( λ ) {displaystyle Xsim mathrm {Exp} (lambda )} .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

F X ( x ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {displaystyle F_{X}(x)=left{{egin{matrix}1-e^{-lambda x}&,;xgeq 0,&,;x<0.end{matrix}} ight.}

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

M X ( t ) = ( 1 − t λ ) − 1 {displaystyle mathrm {M} _{X}(t)=left(1-{t over lambda } ight)^{-1}} ,

откуда получаем все моменты:

E [ X n ] = n ! λ n {displaystyle mathbb {E} left[X^{n} ight]={frac {n!}{lambda ^{n}}}} .

В частности,

E [ X ] = 1 λ {displaystyle mathbb {E} [X]={frac {1}{lambda }}} , E [ X 2 ] = 2 λ 2 {displaystyle mathbb {E} left[X^{2} ight]={frac {2}{lambda ^{2}}}} , D ⁡ [ X ] = 1 λ 2 {displaystyle operatorname {D} [X]={frac {1}{lambda ^{2}}}} .

Независимость событий

Пусть X ∼ E x p ( λ ) {displaystyle Xsim mathrm {Exp} (lambda )} . Тогда P ( X > s + t ∣ X ⩾ s ) = P ( X > t ) {displaystyle mathbb {P} (X>s+tmid Xgeqslant s)=mathbb {P} (X>t)} .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

  • Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X.
  • Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} независимые случайные величины, и X i ∼ E x p ( λ i ) {displaystyle X_{i}sim mathrm {Exp} (lambda _{i})} . Тогда:
Y = min i = 1 , … , n ( X i ) ∼ E x p ( ∑ i = 1 n λ i ) . {displaystyle Y=min limits _{i=1,ldots ,n}(X_{i})sim mathrm {Exp} left(sum limits _{i=1}^{n}lambda _{i} ight).}
  • Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:
E x p ( λ ) ≡ Γ ( 1 , 1 / λ ) . {displaystyle mathrm {Exp} (lambda )equiv Gamma (1,1/lambda ).}
  • Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} независимые случайные величины, и X i ∼ E x p ( λ ) {displaystyle X_{i}sim mathrm {Exp} (lambda )} . Тогда:
Y = ∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( n , 1 / λ ) . {displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}sim Gamma (n,1/lambda ).}
  • Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть U ∼ U [ 0 , 1 ] {displaystyle Usim U[0,1]} . Тогда:
X = − 1 λ ln ⁡ U ∼ E x p ( λ ) . {displaystyle X=-{frac {1}{lambda }}ln Usim mathrm {Exp} (lambda ).}
  • Экспоненциальное распределение с параметром λ = 1 / 2 {displaystyle lambda =1/2} — это частный случай распределения хи-квадрат:
E x p ( 1 / 2 ) ≡ χ 2 ( 2 ) . {displaystyle mathrm {Exp} (1/2)equiv chi ^{2}(2).}
  • Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
  • Пусть X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}} независимые случайные величины, и X i ∼ E x p ( λ ) {displaystyle X_{i}sim mathrm {Exp} (lambda )} и Y = max X 1 , . . . , X n , Z = X 1 + X 2 2 + . . . + X n n {displaystyle Y=max {X_{1},...,X_{n}},Z=X_{1}+{frac {X_{2}}{2}}+...+{frac {X_{n}}{n}}} . Тогда:
P ( Y < t ) = ( 1 − exp ⁡ ( λ t ) ) n , P ( Z < t ) = ( 1 − exp ⁡ ( λ t ) ) n . {displaystyle P(Y<t)=(1-exp(lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-exp(lambda t))^{n}.}
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent