Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное (или показательное) распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события. ОпределениеСлучайная величина X {displaystyle X} имеет экспоненциальное распределение с параметром λ > 0 {displaystyle lambda >0} , если её плотность вероятности имеет вид: f X ( x ) = { λ e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {displaystyle f_{X}(x)={egin{cases}lambda ,e^{-lambda x},&xgeq 0, ,&x<0.end{cases}}} .Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно 1 / λ {displaystyle 1/lambda } . Сам параметр λ {displaystyle lambda } тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени. В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины X {displaystyle X} задана первым уравнением, и будем писать: X ∼ E x p ( λ ) {displaystyle Xsim mathrm {Exp} (lambda )} . Функция распределенияИнтегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения: F X ( x ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {displaystyle F_{X}(x)=left{{egin{matrix}1-e^{-lambda x}&,;xgeq 0, &,;x<0.end{matrix}} ight.}МоментыНесложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид: M X ( t ) = ( 1 − t λ ) − 1 {displaystyle mathrm {M} _{X}(t)=left(1-{t over lambda } ight)^{-1}} ,откуда получаем все моменты: E [ X n ] = n ! λ n {displaystyle mathbb {E} left[X^{n} ight]={frac {n!}{lambda ^{n}}}} .В частности, E [ X ] = 1 λ {displaystyle mathbb {E} [X]={frac {1}{lambda }}} , E [ X 2 ] = 2 λ 2 {displaystyle mathbb {E} left[X^{2} ight]={frac {2}{lambda ^{2}}}} , D [ X ] = 1 λ 2 {displaystyle operatorname {D} [X]={frac {1}{lambda ^{2}}}} .Независимость событийПусть X ∼ E x p ( λ ) {displaystyle Xsim mathrm {Exp} (lambda )} . Тогда P ( X > s + t ∣ X ⩾ s ) = P ( X > t ) {displaystyle mathbb {P} (X>s+tmid Xgeqslant s)=mathbb {P} (X>t)} . Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать. Связь с другими распределениями
|