Поверхность Цолля
Поверхность Цолля — 2-мерная сфера с римановой метрикой, для которой все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую длину. Названы в честь ученика Давида Гильберта Отто Цолля, обнаружившего первые нетривиальные примеры. ПримерыОбычная сфера, очевидно, обладает этим свойством, но существует также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики, называемых поверхностями Цолля. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:
Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик. Следующий результат даёт несимметричные примеры:
В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера. |