Группа Кремоны
Войти  |  Регистрация
Авторизация
» » Группа Кремоны

Группа Кремоны



Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов n {displaystyle n} -мерного проективного пространства над полем k {displaystyle k} . Группу ввёл в рассмотрение в 1863—65 годах Луиджи Кремона. Группа обозначается как C r ( P n ( k ) ) {displaystyle Cr(mathbb {P} ^{n}(k))} , B i r ( P n ( k ) ) {displaystyle Bir(mathbb {P} ^{n}(k))} или C r n ( k ) {displaystyle Cr_{n}(k)} .

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов A u t k ( k ( x 1 , . . . , x n ) ) {displaystyle mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))} поля рациональных функций от n {displaystyle n} неизвестных над k {displaystyle k} , или трансцендентным расширением поля k {displaystyle k} со степенью трансцендентности n {displaystyle n} .

Проективная полная линейная группа порядка n + 1 {displaystyle n+1} проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка n {displaystyle n} . Они совпадают только в случаях, когда n = 0 {displaystyle n=0} или n = 1 {displaystyle n=1} , в которых числитель и знаменатель преобразования линейны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

В пространствах размерности два, как показали Макс Нётер и Гвидо Кастельнуово, комплексная группа Кремоны порождается стандартным квадратичным преобразованием вместе с P G L ( 3 , k ) {displaystyle mathrm {PGL} (3,k)} , хотя была некоторая полемика о правильности их доказательства, а Гизатуллин дал полное множество связей для этих генераторов. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп.

  • Серж Канта и Стефан Лами показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа.
  • Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп и замкнута в естественной топологии.
  • Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы Кремоны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. Бланк показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос Серра. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку Хадсон показал, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом.

Группы де Жонкьера

Группа де Жонкьера — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности x 1 , . . . , x n {displaystyle x_{1},...,x_{n}} для расширения поля k {displaystyle k} . Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов k ( x 1 , . . . , x n ) {displaystyle k(x_{1},...,x_{n})} , отображающих подполе k ( x 1 , . . . , x r ) {displaystyle k(x_{1},...,x_{r})} в себя для некоторого r ⩽ n {displaystyle rleqslant n} . Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов k ( x 1 , . . . , x n ) {displaystyle k(x_{1},...,x_{n})} над полем k ( x 1 , . . . , x r ) {displaystyle k(x_{1},...,x_{r})} , а фактор-группа является группой Кремоны k ( x 1 , . . . , x r ) {displaystyle k(x_{1},...,x_{r})} над полем k {displaystyle k} . Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка P r × P n − r → P r {displaystyle mathbb {P} ^{r} imes mathbb {P} ^{n-r} o mathbb {P} ^{r}} .

Если n = 2 {displaystyle n=2} и r = 1 {displaystyle r=1} , группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением P G L 2 ( k ) {displaystyle mathrm {PGL} _{2}(k)} и P G L 2 ( k ( t ) ) {displaystyle mathrm {PGL} _{2}(k(t))} .


Добавлено Admin 11-12-2020, 03:59 Просмотров: 30
Добавить комментарий
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
  • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
    heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
    winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
    worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
    expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
    disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
    joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
    sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
    neutral_faceno_mouthinnocent